7.Механические колебания
7.1 Общие сведения
Колебаниями называются процессы, в которых физическая величина изменяясь, повторяет свои значения через некоторое время. В зависимости от физической природы процесса различают механические, электромагнитные, электромеханические и другие колебания.
Колебательные процессы лежат в основе различных отраслей науки и техники, например, модуляционная спектроскопия в физике и радиотехника.
В некоторых случаях колебания играют отрицательную роль: колебания стационарных конструкций под действием внешних воздействий, колебания корпусов кораблей, летательных аппаратов, вызванные внешними и внутренними силами (двигателями ). В этом случае их нужно минимизировать.
В зависимости от характера воздействия на колебательную систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденые колебания, автоколебания и параметрические колебания.
Свободные колебания возникают в системе самопроизвольно после того, как ее вывели из положения равновесия (шарик на вертикальной нити или пружине).
Вынужденые колебания происходят под воздействием внешней периодической силы.
Автоколебания сопровождаются действием внешних сил, однако моменты воздействия задаются самой колебательной системой, т.е. она управляет внешним воздействием (часы).
При параметрических колебаниях за счёт внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины маятника.
Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие, при которых физическая величина изменяется по закону sin или cos.
Эти колебания важны, поскольку :
1) в природе и технике часто колебания близки к гармоническим;
2) периодические процессы иной формы могут быть представлены как сумма нескольких гармонических колебаний.
7.1 Малые колебания
Рассмотрим
механическую систему , положение которой
может быть определено с помощъю одной
величины, например х. В этом случае
говорят, что система имеет одну степень
свободы.Величиной х может быть угол,
расстояние, энергия, скорость, ускорение
и т.п. Потенциальная енергия системы
тогда будет функцией одной переменной
х, т.е.,
.Допустим
что система обладает устойчивым
положением равновесия. В этом положении
тогда можно положить, что
.
Разложим
функцию
в
ряд Маклорена (частный случай ряда
Тейлора) по
степеням х и ограничимся малыми
колебаниями, т.е., степенями 2-го порядка.
Энергию их отсчитываем от положения
равновесия. Тогда:
Производная
,
а
положительна для минимума функции.
Обозначив
,
-константа,
при этом
,
получим:
,
это выражение аналогично энергии сжатой
пружины.
Используя связь между силой и
потенциальной энергией:
,
найдем силу, действующую на систему:
,
что
тождественно упругой силе деформации
пружины. (
-не
только коэффициент упругости, а и
постоянная в разложении)
Поэтому
силы вида
называют квазиупругими. Они направлены
к положению равновесия, пропорциональны
х, и называются возвращающими.
Рис.7,1
Пример
гармонических колебаний: В положении
равновесия
(*).Сместив
шарик в положение х, получим удлинение
,
а сила
или с учётом (*)
,
т.е. результирующая сил тяжести и упругой
является квазиупругая сила.
Рис.7,2
Дадим
смещение
и отпустим шарик.Он будет двигаться к
положению равновесия со скоростъю
.
Потенциальная энергия будет убывать,
зато появится кинетическая
.
Затем движение замедляется и шарик
остановится, когда
превратится в потенциальную энергию и
смещение станет равным
.
Затем движение повторится в обратном
направлении.