- •Физические основы механики.
- •1. Кинематика поступательного движения.
- •1.1 Механическое движение.
- •1.2.Пространство и время.
- •1.3. Система отсчета.
- •1.4. Кинематические уравнения движения.
- •1.5. Перемещение, элементарное перемещение.
- •1.6. Скорость.
- •1.7. Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.
- •2.Динамика поступательного движения
- •2.1. Поступательное движение
- •2.2. Закон инерции.
- •2.3. Инерциальная система отсчета.
- •2.4. Масса. Второй закон Ньютона.
- •2.5. Сила.
- •2.6.Основной закон динамики материальной точки.
- •2.7. Третий закон Ньютона
- •2.8. Преобразования Галилея
- •Продифференцировав их по времени, получим связь между скоростями точки а в системах отсчета и в векторной и координатной формах:
- •2.9. Принцип относительности Галилея
- •Законы сохранения.
- •Сохраняющиеся величины
- •3.3 Центр масс
- •3.4. Уравнение движения центра масс.
- •4.Работа и энергия
- •4.1 Работа
- •2. Работа упругой силы
- •4.3. Консервативные силы
- •4.4. Центральные силы.
- •4.5. Потенциальная энергия частицы в силовом поле.
- •4.6. Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля.
- •4.7. Кинетическая энергия частицы в силовом поле.
- •4.8. Полная механическая энергия частицы.
- •4.9. Закон сохранения механической энергии частицы.
- •5.Кинематика и динамика вращательного движения.
- •5.1.Кинематика.
- •5.2. Момент импульса частицы. Момент силы.
- •5.3. Момент импульса и момент силы относительно оси.
- •5.4. Закон сохранения момента импульса системы.
- •5.5. Момент инерции твердого тела.
- •5.6. Уравнение динамики вращения твердого тела.
- •5.7. Кинетическая энергия вращающегося тела.
- •5.8. Работа вращения твердого тела.
- •6.Неинерциальные системы отсчёта
- •6.1 Силы инерции (Сав. Стр.118)
- •6.2. Центробежная сила инерции
- •6.3 Сила Кориолиса
- •7.Механические колебания
- •7.1 Общие сведения
- •7.1 Малые колебания
- •7.2 Гармонические колебания.
- •7.3 Математический маятник Это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити длиною , совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
- •Записав для пути точки: , а для ускорения , запишем уравнение движения вдоль оси : . Или для малых углов (когда )
- •7.4. Физический маятник.
- •7.5 Затухающие колебания
- •7.6 Автоколебания
- •7.7 Вынужденные колебания
- •7.8 Резонанс
- •8. Волны
- •8.1 Распространение волн в упругой среде.
- •8.2 Уравнение плоской и сферической волн.
- •8.3. Волновое уравнение
- •Подставим в уравнение () и и учтем, что , получим:
7.2 Гармонические колебания.
Уравнение 2-го Закона Нъютона в отсутствие сил трения для квазиупругой силы вида имеет вид:
или (* ) ,
здесь . Поскольку, >0, то -вещественная величина. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Такие уравнения решают с помощъю подстановки , -постоянная величина. После чего получают алгебраическое уравнение
с мнимыми корнями и , называемое характеристическим.
Его общее решение имеет вид: , где , -комплексные постоянные
Решение уравнения (*) имеет вид:
, где , -произвольные постоянные, которые для каждого конкретного колебания определяются начальными условиями: ипри t = 0, -амплитуда колебаний;
-фаза, -начальная фаза, - период колебаний, равный .
Период находится из условия ,
Таким образом, смещение изменяется по закону или .Следовательно движение системы, под действием силы вида представляет собой гармоническое колебание. Его график показан на рисунке.
Рис.7,3
Выражение для скорости и ускорения системы имеют вид:
Квазиупругая сила является консервативной, поэтому полная механическая энергия гармонического колебания должна сохраняться. При колебаниях происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
В крайних положениях системы: , в положении равновесия т.е.
Со временем , а
Сложив, с учётом , найдем полную энергию колебаний: , т.е., постоянно.
Среднее значение и =, поэтому среднее значение кинетической энергии совпадает со среднем значением потенциальной энергии и равно .
7.3 Математический маятник Это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити длиною , совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
рис.7,5
Записав для пути точки: , а для ускорения , запишем уравнение движения вдоль оси : . Или для малых углов (когда )
.
Таким образом, в этих условиях точка совершает гармонические колебания с частотой и периодом .
7.4. Физический маятник.
Это твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной оси, связанной с телом. Ось перпендикулярна рисунку и направлена к нам, а момент силы тяжести - от нас. Тогда уравнение движения:
Здесь угловое ускорение , а - расстояние от точки подвеса до центра масс тела С. Для малых колебаний : и тогда:
, т.е., такой маятник также совершает гармонические колебания с частотой и периодом .
Такую же частоту и период имел бы математический маятник с длиной , называемой приведенной.
рис.7,6
7.5 Затухающие колебания
В реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводят к уменьшению потенциальной энергии системы, и колебания будут затухающими.В простейшем случае сила сопротивления пропорциональна скорости ; r –коэффициент сопротивления. (знак минус, т.к. и имеют противоположные направления )
С учётом 2-ой закон Ньютона имеет вид
или (**)
Это уравнение описывает затухающие колебания системы.
В уравнении затухающих колебаний -частота колебаний, если бы они были свободными, т.е. в отсутствие сил сопротивления. Это собственная частота системы.
Подстановка в диференциальное уравнение приводит к алгебраическому уравнению
с корнями и
При не слишком большом затухании подкоренное выражение будет отрицательным. Представим его в виде , где - вещественная величина .
Общее решение уравнения (**) имеет вид : .
Здесь , т.е., это есть гармонические колебание частоты с амплитудой, меняющейся со временем . Скорость затухания определяется коэффиентом затухания . Период затухающих колебаний ; При небольшом сопротивлении период и растет с ростом .
Рис.7,7
Для характеристики скорости затухания колебаний вводят физическую величину – декремент затухания – это отношение амплитуд колебаний, отвечающих моментам времени, отличающимся на период: , а его логарифм называется логарифмическим декрементом затухания.
Для характеристики колебательной системы обычно используется . Если выразить , то закон убывания амплитуды можно записать:
. Отсюда видно, что за время , за которое амплитуда уменьшается в раз, система успевает совершить колебаний. Из условия : . Т.е., можно сказать, что по величине обратно числу колебаний, совершенных за время , за которое амплитуда уменьшается в раз.
Как техническая характеристика колебаний, часто употребляется добротность:. Другое определение добротности : это отношение энергии колебаний, запасенной в контуре в данный момент, к потерям этой энергии за один период колебаний, умноженной на :
Из формулы для периода колебаний следует, что с ростом коэффициента затухания период увеличивается и при становится равным бесконечности, т.е., колебания прекращаются. При движение носит апериодический характер: система, выведенная из положения равновесия, возвращается в исходное состояние не совершая колебаний одним из двух путей в зависимости от величины начальной скорости, рис. . .
Рис.7,8