5.2. Момент импульса частицы. Момент силы.

Кроме энергии и импульса существует ещё одна физическая величина, с которой связан закон сохранения — это момент импульса. Моментом импульса частицы относительно точки О называется вектор равный векторному произведению , где -радиус-вектор частицы, -ее импульс.

Момент импульса является псевдовектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки О в направлении и вектор образуют правовинтовую систему. Модуль , где  угол между и , а

плечо вектора относительно точки О.

Найдем, с какой величиной связано изменение вектора во времени:

.

Так как, точка О неподвижна, то равно скорости частицы, т.е. совпадает с по направлению, тогда . Далее, учитывая, что — второй закон Ньютона, получим: .

Величина —момент силы, аксиальный вектор. Модуль , —плечо силы относительно т. О, рис.

Таким образом, производная по времени момента импульса частицы относительно некоторой т. О выбранной системы отсчета равна моменту равнодействующей силы относительно этой точки

. Это уравнение называют уравнением моментов.

Если система отсчета является неинерциальной, то момент силы включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции относительно той же т. О.

Из уравнения моментов следует что если , то - частица совершает равномерное вращательное движение. Т.е., если момент всех сил относительно т. О системы отсчета равен нулю в течение интересующего нас времени , то момент импульса частицы относительно этой точки остается постоянным.

Уравнение моментов позволяет найти момент силы точки относительно т. О в любой момент времени, если известна зависимость частицы относительно этой точки. Для этого достаточно продифференцировать уравнение .

Если известна зависимость , то можно найти приращение момента импульса частицы относительно т.О за любой промежуток времени. Для этого необходимо проинтегрировать уравнение , тогда

Выражение —импульс момента силы, подобно величине , называемой импульсом силы.

Таким образом, приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за это время.

5.3. Момент импульса и момент силы относительно оси.

Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную неподвижную ось . Пусть относительно некоторой т. О этой оси момент импульса частицы равен , а момент сил .

Моментом импульса частицы относительно оси называется проекция на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки О данной оси.

Аналогично вводится понятие момента силы относительно оси . Величины и не зависят от выбора т. О на оси .

Уравнение моментов относительно оси : , т.е. производная момента импульса относительно оси равна моменту силы относительно этой оси. В частности, при момент импульса . Т.е., если момент силы относительно некоторой оси равен 0, то относительно этой оси остается постоянным. При этом вектор может изменяться.

5.4. Закон сохранения момента импульса системы.

Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которые действуют также внешние силы и , рис.. Момент импульса является аддитивной величиной и для системы равен векторной сумме моментов импульсов отдельных частиц относительно одной и той же точки: .

Нам известно, что изменение момента импульса одной частицы —моменту всех сил, действующих на частицу, а изменение момента импульса системы: , поскольку: , где первое слагаемое - момент всех внутренних сил, действующих на одну частицу, а второе – момент равнодействующей внешних сил, действующих на ту же частицу. Подставляя, получим:

, где — суммарный момент всех внутренних сил, действующих на все частицы, а — суммарный момент всех внешних сил, действующих на все частицы.

Значит для двух частиц, изображенных на рис., это можно записать в виде:

.

Суммарный момент внутренних сил относительно любой точки равен нулю, т.к., силы взаимодействия между частицами равны по 3 ^му закону Ньютона, действуют по одной прямой, значит, имеют одинаковые плечи, поэтому момент каждой пары внутренних сил равен нулю, а значит и суммарный момент всех этих сил равен нулю.

Тогда, ; т.е. момент импульса системы изменяется под действием внешних сил: .

Приращение момента импульса за конечное время: равно импульсу суммарного момента всех внешних сил за это время.

Если внешние силы отсутствуют , , то , является аддитивной сохраняющейся величиной.

Таким образом, момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, не изменяется со временем.

Это справедливо относительно любой точки инерциальной системы отсчета: . Моменты импульса отдельных частей системы меняются со временем, однако, приращение момента импульса одной части системы происходит за счет убыли другой части системы (относительно одной точки).

Закон справедлив и в неинерциальной системе отсчета в тех случаях, когда суммарный момент всех внешних сил, включая силы инерции, равен нулю.

Этот закон играет такую же роль как и законы сохранения энергии, импульса. Он позволяет решать разные задачи, не рассматривая детально внутренние процессы.

Пример: вращают горизонтальный стержень со скользящими по нему шариками вокруг вертикальной оси. Вначале шарики были связаны нитью, как показано на рис., затем ее пережигают и шарики скользят к краям стержня. Угловая скорость вращения при этом резко уменьшается, что является следствием закона сохранения момента импульса. Приравняв начальный и конечный моменты

импульса системы , получим: , значит скорость системы уменьшается как . Этот эффект широко используют гимнасты, фигуристы и другие. Здесь мы не интересуемся внутренними силами взаимодействия (силы трения и сопротивления).

У незамкнутых систем может сохраняться не сам момент импульса, а его проекция на некоторую неподвижную ось . Это бывает, когда суммарная проекция всех внешних сил на эту ось равна нулю .

; ; , если , то .

В физике понятие момента импульса расширяют на немеханические системы (системы с электромагнитным излучением, атомы, ядра и др.) где не действуют законы Ньютона. Здесь закон сохранения момента импульса уже не является следствием законов Ньютона, а представляет собой самостоятельный общий принцип, является обобщением опытных фактов и одним из фундаментальных законов наряду с законами сохранения энергии и импульса.