- •Физические основы механики.
- •1. Кинематика поступательного движения.
- •1.1 Механическое движение.
- •1.2.Пространство и время.
- •1.3. Система отсчета.
- •1.4. Кинематические уравнения движения.
- •1.5. Перемещение, элементарное перемещение.
- •1.6. Скорость.
- •1.7. Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.
- •2.Динамика поступательного движения
- •2.1. Поступательное движение
- •2.2. Закон инерции.
- •2.3. Инерциальная система отсчета.
- •2.4. Масса. Второй закон Ньютона.
- •2.5. Сила.
- •2.6.Основной закон динамики материальной точки.
- •2.7. Третий закон Ньютона
- •2.8. Преобразования Галилея
- •Продифференцировав их по времени, получим связь между скоростями точки а в системах отсчета и в векторной и координатной формах:
- •2.9. Принцип относительности Галилея
- •Законы сохранения.
- •Сохраняющиеся величины
- •3.3 Центр масс
- •3.4. Уравнение движения центра масс.
- •4.Работа и энергия
- •4.1 Работа
- •2. Работа упругой силы
- •4.3. Консервативные силы
- •4.4. Центральные силы.
- •4.5. Потенциальная энергия частицы в силовом поле.
- •4.6. Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля.
- •4.7. Кинетическая энергия частицы в силовом поле.
- •4.8. Полная механическая энергия частицы.
- •4.9. Закон сохранения механической энергии частицы.
- •5.Кинематика и динамика вращательного движения.
- •5.1.Кинематика.
- •5.2. Момент импульса частицы. Момент силы.
- •5.3. Момент импульса и момент силы относительно оси.
- •5.4. Закон сохранения момента импульса системы.
- •5.5. Момент инерции твердого тела.
- •5.6. Уравнение динамики вращения твердого тела.
- •5.7. Кинетическая энергия вращающегося тела.
- •5.8. Работа вращения твердого тела.
- •6.Неинерциальные системы отсчёта
- •6.1 Силы инерции (Сав. Стр.118)
- •6.2. Центробежная сила инерции
- •6.3 Сила Кориолиса
- •7.Механические колебания
- •7.1 Общие сведения
- •7.1 Малые колебания
- •7.2 Гармонические колебания.
- •7.3 Математический маятник Это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити длиною , совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
- •Записав для пути точки: , а для ускорения , запишем уравнение движения вдоль оси : . Или для малых углов (когда )
- •7.4. Физический маятник.
- •7.5 Затухающие колебания
- •7.6 Автоколебания
- •7.7 Вынужденные колебания
- •7.8 Резонанс
- •8. Волны
- •8.1 Распространение волн в упругой среде.
- •8.2 Уравнение плоской и сферической волн.
- •8.3. Волновое уравнение
- •Подставим в уравнение () и и учтем, что , получим:
4.7. Кинетическая энергия частицы в силовом поле.
Пусть частица массой движется в силовом поле под действием силы . Элементарная работа этой силы на перемещении равна: ; Записывая , а сила , получим: . Скалярное произведение где — проекция вектора приращения скорости на направление вектора скорости . Эта величина равна — приращению модуля вектора скорости. Значит, и работа . Отсюда видно, что работа результирующей силы идет на приращение некоторой физической величины , которую называют кинетической энергией и, которая является мерой энергии движения материальной точки. Таким образом:
, а кинетическая энергия (*)
При конечном перемещении частицы из т.1 в т.2 работа равна:
, или
(**)
Т.е., приращение кинетической энергии частицы при перемещении из т.1 в т.2 силового поля равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу на этом перемещении.
Если , то — кинетическая энергия возрастает. Если — уменьшается (на этом пути действуют силы сопротивления).
Уравнения (*, **) справедливы в инерциальных и неинерциальных системах отсчета. В последних необходимо в работу всех сил учитывать работу сил инерции.
4.8. Полная механическая энергия частицы.
Известно, что приращение кинетической энергии частицы при перемещении в силовом поле равно элементарной работе всех сил, действующих на частицу: . Если частица находится в стационарном поле консервативных сил, то на нее кроме консервативной силы могут действовать и другие силы, называемые сторонними ; Тогда результирующая сила равна : .
Работа всех этих сил идет на изменение кинетической энергии частицы:
Известно также, что работу консервативных сил поля можно записать как убыль потенциальной энергии частицы в этом поле.
, значит или
Т.о. работа сторонних сил идёт на приращение величины . Эту величину называют полной механической энергией частицы в поле: .
Отсюда видно, что определяется с точностью до постоянной, так как с точностью до постоянной определяется . Теперь можно записать
(***)
т.е., приращение полной механической энергии частицы на некотором пути равно работе сторонних сил, действующих на частицу на этом пути; Если , то полная механическая энергия частицы растёт. При — уменьшается.
Пример: Для тела, падающего с обрыва, работа сторонних сил:
, где - силы сопротивления.
4.9. Закон сохранения механической энергии частицы.
Из выражения следует, что в стационарном поле консервативных сил полная механическая энергия частицы может изменяться только под действием сторонних сил, отсюда вытекает закон сохранения механической энергии частицы:
Если сторонние силы отсутствуют, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается постоянной.
;
Закон сохранения позволяет решать многие задачи, не привлекая уравнения движения, которые часто приводят к громоздким расчетам.
5.Кинематика и динамика вращательного движения.
5.1.Кинематика.
Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого , а направление совпадает с осью вращения и определяется правилом правого винта: Направление должно быть таким, чтобы глядя вдоль него, мы видели поворот совершающийся по часовой стрелке, рис.
При поворотах на очень малые углы, путь проходимый точкой можно считать прямолинейным, поэтому два последовательных малых поворота и (вокруг разных осей; в данном случае оси перпендикулярны) обуславливают, как видно из рис., такое же перемещение, любой точки тела, как и поворот получаемый из и сложением по правилу параллелограмма. Значит, очень малые повороты можно рассматривать как векторы. Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела, следовательно не является истинным вектором, а является псевдовектором.
Для истинных векторов типа вопрос об их направлении не возникает, он решается естественным образом, из природы самих физических величин. Векторы типа , направление которых определяется направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами.
В екторная величина называется угловой скоростью тела, она направлена вдоль оси вращения, в сторону, определяемую правилом правого винта, также псевдовектор, модуль угловой скорости равен . Если , то наблюдается равномерное вращение , для равномерного движения есть угол поворота в единицу времени. Для такого движения можно ввести период вращения и частоту: число оборотов за 1 с. , а .
Понятия и можно сохранить и для неравномерного вращения, понимая под ними их мгновенные значения.
Вектор может изменяться как за счет изменения скорости вращения вокруг оси (по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве ( по направлению). Если за угловая скорость получает приращение , то изменение угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением:
— тоже псевдовектор.
Если ось вращения не изменяет своего положения в пространстве, то векторы , и коллинеарны.
Точки вращающегося тела имеют разные линейные скорости, которые определяются угловой скоростью и радиусами точек . Если за время тело повернулось на угол , то дуга окружности при этом . Линейная скорость точки: ; т.е., связь между модулями скоростей .
Найдем связь между векторами и . Положение точки определяется радиусом-вектором . Из рис. видно, что векторное произведение совпадает с по направлению, модуль равен .
Таким образом:
Модуль нормального ускорения точек или . Вводя вектор , перпендикулярный оси вращения, можно записать:
Когда ось вращения не поворачивается в пространстве, тангенциальное ускорение можно представить:
; -модуль углового ускорения, т.е., .
Таким образом, нормальное и тангенциальное ускорения растут пропорционально радиусу точек.