1.4. Кинематические уравнения движения.

При движении т.М ее координаты и меняются со временем, поэтому для задания закона движения необходимо указать вид функциональной зависимости от времени всех трех её координат:; ; , либо зависимость радиуса-вектора ;.

Эти уравнения называются кинетическими уравнениями движения точки.

Линия, описываемая точкой при ее движении относительно выбранной системы координат, называется траекторией. Ее уравнение можно получить из кинематических уравнений, исключив время. По виду траектории различают прямолинейное и криволинейное движения. Траектория может быть плоской, т.е. лежать в одной плоскости, или быть объемной.

Длиной пути является расстояние , пройденное точкой за рассмотренный промежуток времени и измеряемое вдоль траектории в направлении движения; таким образом, является скаляром и всегда больше нуля.

1.5. Перемещение, элементарное перемещение.

Пусть точка М движется от А к В по криволинейному пути АВ. В начальный момент ее радиус-вектор равен , а в момент времени ее радиус-вектор равен . Длина траектории точки -.

Вектором перемещения точки за промежуток от до называется приращение радиуса-вектора точки за это время . Он направлен вдоль хорды стягивающий соответствующий участок траектории точки. Поэтому во всех случаях, кроме движения точки по прямой, модуль перемещения меньше длины пути за этот же .

Однако, по мере уменьшения длины пути разность между хордой и перемещением уменьшается. Следовательно, рассматривая элементарное перемещение по траектории за достаточно малый промежуток времени (от до ), можно пренебречь отличием между и модулем перемещения за это время. Значит, вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения точки, также как единичный вектор касательной . Таким образом,

Вектор перемещения материальной точки за любой конечный промежуток времени от до можно представить в виде:

,

где приращения соответствующих координат точки за время .

Следует заметить, что в математике и физике имеется некоторое различие в толковании смысла обозначений и . В математике и представляют собой дифференциалы соответствующих функций, т.е. равны линейным частям приращений этих функций при произвольном изменении аргумента от до , рис. . По определению в математике дифференциал аргумента: , а – функции: и ;

где и - производные по времени от функций и. Очевидно, что приращения функций и существенно отличаются от дифференциалов этих функций,что видно из рис..

В физике различают произвольное (конечное) приращение аргумента и дифференциал аргумента . Под дифференциалом аргумента понимают столь малое его приращение (элементарное), при котором разностью между соответствующим приращением функции и линейной частью её приращения можно пренебречь т.е. . Поэтому, в физике, используя предложенные Лейбницем обозначения производной , трактуют эти выражения как отношения не математических дифференциалов функции и аргумента, а малых (элементарных) приращений функции и аргумента.