- •Физические основы механики.
- •1. Кинематика поступательного движения.
- •1.1 Механическое движение.
- •1.2.Пространство и время.
- •1.3. Система отсчета.
- •1.4. Кинематические уравнения движения.
- •1.5. Перемещение, элементарное перемещение.
- •1.6. Скорость.
- •1.7. Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.
- •2.Динамика поступательного движения
- •2.1. Поступательное движение
- •2.2. Закон инерции.
- •2.3. Инерциальная система отсчета.
- •2.4. Масса. Второй закон Ньютона.
- •2.5. Сила.
- •2.6.Основной закон динамики материальной точки.
- •2.7. Третий закон Ньютона
- •2.8. Преобразования Галилея
- •Продифференцировав их по времени, получим связь между скоростями точки а в системах отсчета и в векторной и координатной формах:
- •2.9. Принцип относительности Галилея
- •Законы сохранения.
- •Сохраняющиеся величины
- •3.3 Центр масс
- •3.4. Уравнение движения центра масс.
- •4.Работа и энергия
- •4.1 Работа
- •2. Работа упругой силы
- •4.3. Консервативные силы
- •4.4. Центральные силы.
- •4.5. Потенциальная энергия частицы в силовом поле.
- •4.6. Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля.
- •4.7. Кинетическая энергия частицы в силовом поле.
- •4.8. Полная механическая энергия частицы.
- •4.9. Закон сохранения механической энергии частицы.
- •5.Кинематика и динамика вращательного движения.
- •5.1.Кинематика.
- •5.2. Момент импульса частицы. Момент силы.
- •5.3. Момент импульса и момент силы относительно оси.
- •5.4. Закон сохранения момента импульса системы.
- •5.5. Момент инерции твердого тела.
- •5.6. Уравнение динамики вращения твердого тела.
- •5.7. Кинетическая энергия вращающегося тела.
- •5.8. Работа вращения твердого тела.
- •6.Неинерциальные системы отсчёта
- •6.1 Силы инерции (Сав. Стр.118)
- •6.2. Центробежная сила инерции
- •6.3 Сила Кориолиса
- •7.Механические колебания
- •7.1 Общие сведения
- •7.1 Малые колебания
- •7.2 Гармонические колебания.
- •7.3 Математический маятник Это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити длиною , совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
- •Записав для пути точки: , а для ускорения , запишем уравнение движения вдоль оси : . Или для малых углов (когда )
- •7.4. Физический маятник.
- •7.5 Затухающие колебания
- •7.6 Автоколебания
- •7.7 Вынужденные колебания
- •7.8 Резонанс
- •8. Волны
- •8.1 Распространение волн в упругой среде.
- •8.2 Уравнение плоской и сферической волн.
- •8.3. Волновое уравнение
- •Подставим в уравнение () и и учтем, что , получим:
7.6 Автоколебания
При затухающих колебаниях энергия системы постепенно уменьшается и колебания прекращаются. Для того, чтобы их сделать незатухающими, необходимо пополнять энергию системы извне в определенные моменты времени в такт колебаниям, иначе можно уменьшить амплитуду колебаний. Т.е.необходимо сделать систему такой, чтобы она сама управляла внешним воздействием, обеспечивая синхронность внешних толчков колебаниям системы (примером могут быть качели).Такая система называется автоколебательной, а колебания автоколебаниями. Пример-часы. Маятник находится на одной оси с анкером с палеттами.
7.7 Вынужденные колебания
Если колебательная система, кроме сил сопротивления, подвергается действию внешней периодической силы, изменяющейся по гармоническому закону , то уравнение 2-го закона Ньютона:
или с обозначениями , ,
()- уравнение вынужденых колебаний. Здесь -частота внешней силы, -собственная частота системы.
Это неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого состоит из суммы решений соответствуещего однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения.
Решение однородного уравнения известно: , это затухающие колебания с частотой , , -произвольные постоянные.
Частное решение уравнения () имеет форму: или, раскрывая его:
()
где -амплитуда колебаний, а - фаза.
Это решение не содержит произвольных постоянных. Значение представляет собой отставание по фазе вынужденного колебания от вынуждающей силы F.
Сумма решений дает обшее решение уравнения (*), описывающего вынужденные колебания. Первое слагаемое играет заметую роль только в начальной стадии процесса, т.е., при установлении колебаний. Со временем амплитуда этого слагаемого экспоненциально падает и им можно пренебречь, сохраняя второе слагаемое. Таким образом, функция (**) описывает установившееся колебание,которое происходит с частотой , т.е., равной частоте внешней силы.Их амплиткда пропорциональна амплитуде вынуждающей силы , и для данной системы (с параметрами ,) зависит от частоты внешней силы. Отставание по фазе также зависит от .
Рис.7,9
7.8 Резонанс
Кривая зависимости амплитуды вынужденых колебаний от приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения , а затем с повышением частоты - уменьшается. Это явление называется резонансом, а соответствующая -резонансной частотой.
Резонансную частоту можно найти из условия максимума амплитуды колебаний , т.е. нужно взять производную функции и приравнять ее нулю.
При этом имеется три решения : (тривиальное) и ; , не подходит: т.к., это означает отсутствие колебаний; отрицательная частота не имеет физического смысла.
Значит, остается , при этом резонансная амплитуда
При (отсутствие сопротивления) , а резонансная частота совпадала бы с частотой собственных колебаний , при этом , т.е., сдвиг фаз отсутствует.
Зависимость для разных коэффициентов затухания имеет вид кривих с максимумами.
Рис.7,10
Чем меньше - тем острее резонанс, тем выше и правее лежит максимум. При большом колебания прекращаются и не имеет смысла говорить о резонансе.
При все кривые приходят к предельному значению амплитуды -смещение от положения равновесия под действием силы . При амплитуда , т.к. система неуспевает
следить за частотой .
С явленим резонанса необходимо считаться при конструировании машин и сооружений, частота собственных колебаний не должна быть близкой к частоте внешних сил.