1.6. Скорость.

Для характеристики направления и быстроты движения точки вводится векторная физическая величина-скорость.

Пусть за произвольное время точка переместилась из т.1 в т.2. Вектор перемещения представляет собой приращение радиуса-вектора за время . Отношение называется средней скоростью точки за время или скоростью перемещения. Направление вектора совпадает с перемещением .

Скорость точки в заданный момент времени, т.е., мгновенная скорость, определяется как предел отношения при ,

т.е. равна производной от радиуса-вектора по времени и направлена по касательной к траектории в заданной точке в сторону ее движения. Модуль скорости . Вектор можно разложить по базису , т.е., на три составляющие по осям декартовой системы координат

;

; ; ;

;

1.7. Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.

Движение точки характеризуется также ускорением—быстротой изменения скорости. Если скорость точки за произвольное время изменяется на величину , то величина

называется средним ускорением точки за это время. Ускорение в данный момент времени:

;

т.е. вектор равен производной по времени. Направление вектора совпадает с направлением приращения скорости за . Поскольку, , то ускорение точки можно записать как вторую производную по времени от радиуса-вектора:

;

Вектор ускорения можно разложить по компонентам : ; где , соответственно, …проекции ускорения на оси координат.

Если траектории точки плоская кривая, то для описания движения можно выбрать два перпендикулярные друг к другу направления: касательной к траектории (орт ) и нормали к ней (орт ). Тогда раскладывается по составляющим .

Поскольку вектор скорости , то подставив сюда элементарное перемещение , получим для скорости: .

Тогда для ускорения точки можно записать:

;

Из рис. видно, что есть разность векторов и . Видно, что есть приращение орта касательной к траектории, соответствующее элементарному пути за время .

В

0

виду малости его можно считать совпадающим с дугой окружности радиуса с центром в т.0 с центральным углом .

При перемещении по траектории на длину единичный вектор поворачивается на угол . Из равнобедренного треугольника векторов , ввиду малости ;

По направлению совпадает с ортом : при вектор становится перпендикулярным . Тогда производная:

и полное ускорение точки

;

Отсюда видно, что — касательное (тангенциальное) ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. При ускоренном движении и совпадает с , при замедленном и противоположно .

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скорости. Оно направлено к центру кривизны траектории; ; поэтому его также называют центростремительным. При прямолинейном движении .

Модуль полного ускорения

;

При ускоренном движении угол острый, рис. , при замедленном - тупой ( угол между и ). Если точка движется по окружности равномерно, т.е. , то и , т.е. перпендикулярно касательной к траектории.