5.7. Кинетическая энергия вращающегося тела.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, проходящей через него. Разобьем его на частицы с малыми объемами и массами , …. находящимися на расстояниях , … от оси вращения. Разным будут соответствовать, разные линейные скорости вращения , …

Кинетическая энергия вращения всего тела сложится из кинетических энергий составляющих его частиц:

. Т.к., угловая скорость вращения всех частиц одинакова, то , …, тогда:

Таким образом,

Формула справедлива для тела, которое вращается вокруг неподвижной оси, а также относительно одной из главных осей инерции тела.

Если тело катится (шар, колесо, и т.д.), то его энергия движения складывается из энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и энергии поступательного движения, т.е. для тела массы можно записать:

;

Формула справедлива для произвольного движения, поскольку его можно разложить на совокупность вращения относительно оси инерции и поступательного движения.

5.8. Работа вращения твердого тела.

Если тело приводится во вращение силой , то его энергия возрастает на величину затраченной работой. Также как и в поступательном движении, эта работа зависит от силы и произведенного перемещения. Однако перемещение теперь угловое и выражение для работы при перемещении материальной точки неприменимо. Т.к. тело абсолютно твердое, то работа силы , хотя она приложена в точке, равна работе, затраченной на поворот всего тела.

При повороте на угол точка приложения силы проходит путь . При этом работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения: ; Из рис. видно, что —плечо силы ,а —момент силы.

Тогда элементарная работа: . Если , то .

Работа вращения идёт на увеличение кинетической энергии тела

; Подставив , получим: или с учетом уравнения динамики: , видно, что , т.е. то же самое выражение.

6.Неинерциальные системы отсчёта

6.1 Силы инерции (Сав. Стр.118)

Законы Нъютона выполняются только в инерциальных системах отсчета (ИСО), относительно которых данное тело движется с одинаковым ускорением . Любая неинерциальная система отсчёта (НИСО) движется относительно инерциальной системы с некоторым ускорением , рис.5.1, поэтому ускорение тела в неинерциальной системе отсчёта будет отлично от и равно:

= - (*)

Поступательно движущаяся неинерциальная система отсчёта имеет ускорение , одинаковое для всех точек пространства (системы отсчета) и представляет собой ускорение НИСО. Вращающаяся НИСО будет иметь ускорения, разные в разных точках ( ), где - радиус-вектор точки относительно неинерциальной системы отсчёта.

Ускорение тела в инерциальной системе определяется II-м законом Ньютона: , где результирующая всех сил со стороны других тел.

Наша задача - описать движение тел в неинерциальных системах с помощью основного закона Ньютона.

Ускорение тела относительно неинерциальной системы из (*)

;

Умножим уравнение на массу тела m

Отсюда видно, что даже при =0, по отношению к неинерциальной системе тело будет двигатся с ускорением , т.е. так, как если бы на него действовала сила равная . Это означает, что при описании движения в неинерциальной системе отсчёта можно пользоваться уравнениями Нъютона, если наряду с реальными силами, обусловленными воздействиями тел друг на друга учитывать так называемые силы инерции , которые равны произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной системе отсчёта и неинерциальной системе отсчёта:

Тогда ур-е II закона Нъютона в неинерциальной системе будет иметь вид

Пример: Тележка со штангой, к которой подвешен шарик, движется с ускорением , рис.5.2. Относительно ИСО (Земли) все просто: при движении нить отклоняется на угол , т.к. результирующая сил: веса и натяжения нити сообщает шарику ускорение . Относительно тележки (а она является НИСО), шарик находится в покое, несмотря на то, что .Отсутствие ускорения шарика в системе, связанной с тележкой, можно формально объяснить наличием, кроме реальных сил и , силы инерции .

, (=0 в данном случае).

Введение сил инерции дает возможность описывать движение тел как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчёта с помощъю одних и тех же уравнений движения - законов Ньютона. Однако силы инерции нельзя ставить в один ряд с такими природными силами, как упругие, гравитационные, силы тяжести, т.е. обусловленными взаимодействием тел друг с другом. Силы инерции обусловлены свойствами той системы отсчёта, в которой рассматриваются механические явления. В этом смысле их можно назвать фиктивными.

Эти силы существуют только в неинерциальных системах отсчёта. В инерциалных системах отсчёта сил инерции вообще нет и понятие сила применяется только как мера взаимодействия, т.е. в нъютоновском смысле.

Все силы инерции, подобно силам тяготения, пропорциональны массе тела. Поэтому в однородном поле сил инерции, как и в поле сил тяготения все тела движутся с одинаковым ускорением независимо от их масс.