Динамика вязкого газа, турбулентность и струи

10.1. Линейная задача устойчивости	91
что возмущения являются периодическими	во времени, но с амплитудой, из-

меняющейся при движении в направлении течения. Тогда следует считать действительной частоту = с , а волновое число = r + i i – комплексным, где r = 2 / задает длину волны , а i – скорость пространственного нараста-

ния возмущений. Если	i > 0, возмущение затухает при его распространении в
направлении течения,	течение устойчиво; если i < 0, возмущение растет с

ростом продольной координаты х, течение неустойчиво.

Мы также можем ввести понятия абсолютной и конвективной неустойчивости. Если при абсолютной неустойчивости процессы нарастают во времени и могут охватить всю систему, то при конвективной неустойчивости возмущения сносятся к выходу из системы (в нашем случае к задней кромке крыла самолета). При не слишком большой длине системы и хорошо согласованном выходе (отсутствие отраженных волн) возмущения могут покинуть систему, не достигнув заметной величины.

Понятно, что при сi = 0 (или i = 0) решения для временной и пространственной неустойчивости совпадают. В этом случае возмущения не растут ни в пространстве, ни во времени. Такое состояние называется нейтральным.

Для наглядного представления результатов линейной задачи обычно используют график, называемый кривой нейтральной устойчивости (рис. 10.1).

												Предел
															устойчивости
	0,40
																				сi = 0
αβ1
																													103сj /U						= 0
																																			2
																																			4
		0,30
																																			8
																																			12
																																			15
		0,20																																	18
																																			21
																																			22
			0,10
											Reкр = 420								Область
																				устойчивости
				0
																											2500					3000
																							2000
										500				1000					1500
						0
																													1
																									Re			U
																	Рис. 10.1

92 10. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

Линия на рисунке с сi = 0 разделяет области нарастания возмущений от области затухания. Это предел устойчивости. Для заданной частоты из этого графика мы можем определить диапазон чисел Рейнольдса, в котором возмущение растет.

При некоторых, достаточно малых числах Re, все возмущения затухают. Особое значение имеет наибольшее из таких чисел Рейнольдса. Его называют критическим числом Рейнольдса потери устойчивости – Reкр. Для расчета устойчивости пограничного слоя на пластине, представленного на рис. 10.1 в виде изолиний равного нарастания возмущений, Reкр = 420. Для Re > Reкр найдутся возмущения, которые растут при увеличении Re и могут вызвать переход. Не надо путать критическое число Рейнольдса потери устойчивости с числом Рейнольдса перехода. Если первое указывает только на возможность осуществления перехода, то второе – на уже свершившийся факт смены режимов течения.

Обычно с расчета нейтральных кривых начинают анализ устойчивости. Из рассмотрения нейтральных кривых сразу можно определить области параметров, для которых течение неустойчиво, выявить факторы, влияющие на поведение возмущений, что особенно важно для задачи ламинаризации.

Другой важной характеристикой возмущений являются коэффициенты нарастания (сi или i), которые показывают, насколько быстро растут возмущения. На рис. 10.1 цифрами при изолиниях, вложенных в кривую нейтральной устойчивости, показаны значения временного нарастания возмущений.

Отметим, что первоначально линейная теория устойчивости пограничных слоев была воспринята весьма скептически, и только после блестящих экспериментов Шубауэра и Скрамстеда (1943) она стала общепризнанной. Сейчас на теории гидродинамической устойчивости основаны методы предсказания перехода, и она широко используется в задачах ламинаризации пограничных течений.

Для верификации линейной теории устойчивости было решено несколько технических задач. Были созданы специальные приборы для регистрации малых возмущений – термоанемометры. Основным чувствительным элементом термоанемометров является тонкая, диаметром в несколько микрон, металлическая нить. Она нагревается электрическим током и становится очень чувствительной к любым изменениям в окружающей среде, например к пульсациям скорости.

Другим важным прибором стали малотурбулентные аэродинамические трубы. Необходимо было снизить уровень пульсации в рабочей части аэродинамической трубы до нескольких сотых процента. Поток в таких трубах был практически невозмущенным, и можно было исследовать развитие действительно малых возмущений.

10.2. Метод малых возмущений

93

Шубауэр и Скрамстед использовали метод моделирования процессов неустойчивости. Они первыми ввели в пограничный слой малые возмущения с помощью специального источника возмущений – металлической ленточки, помещенной в магнитное поле, по которой пропускался переменный электрический ток. Изменяя частоту вибраций ленточки, они первыми промоделировали неустойчивые волны пограничного слоя, которые были предсказаны теоретически и получили название волн Толлмина–Шлихтинга. Измеренные в экспериментах фазовые скорости, инкременты и нейтральная кривая хорошо согласовывались с теоретическими расчетами. Предложенный Шубауэром и Скрамстедом метод моделирования нашел сейчас широкое применение в исследованиях устойчивости различного типа течений.

10.2. Метод малых возмущений

Рассмотрим систему уравнений движения вязкого газа (1.7), (1.20), (1.33), (1.37). Обсудим устойчивость стационарных ламинарных течений. Каждую из величин, входящих в уравнения, удобно представить в виде суммы

Q(xi , t) = Q		(xi ) + Qў(xi , t) ,	(10.1)

здесь Q – решение стационарных уравнений Навье–Стокса; Qў – возмущение. Отметим, что величины Q и Qў описываются уравнениями динамики вязкого

газа. Поэтому подстановка (10.1) в уравнения, после пренебрежения квадратичными членами, дает следующую линейную систему уравнений:

ж

ц

¶ ў

¶ui

¶uiў +

¶ui

¶uiў

ў +

uў

+

=

ij

,

u

j

з

u

j

ч

¶x j

¶t

j

¶x j

¶x j

и

¶x j

ш

¶ ў

+

¶

(

j ў + uўj

) = 0,

u

¶t

¶x j

ж

¶T ўц

j

¶T

ў

+

¶T

ў

+

¶T

uўj +

j

=

u

з

u

ч

¶x j

¶t

¶x j

и

¶x j ш

	1	¶		ж C p
=				з
	Cv ¶x j з Pr
				и

¶T ў	ж C p		ц	ў ¶T		ц
	+ з		ч			ч	+
¶x j		Pr
	и		ш		¶x j ч
						ш

94	10. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

1 цў

+

1

(

eў +

ў

e

+

ж

¶

ж C p

Cv

ij ij

ij

ij )

з

ч

з

и Cv ш

¶x j и Pr

Pў

-

ў

=

T ў

.

P

T

			ц	ж	1 цў
¶T								ij eij ,
			ч	+ з		ч
¶x j ш				и Cv ш			(10.2)

В систему (10.2) входят следующие выражения:

1

ж ¶u

ў

¶uўj

ц

eў =

з

i

+

ч

,

ij

2

¶x j

¶xi

и

ш

ў

= 2

(

eў

+

ўe

- ж

2

eў

+

2

ўe

ij

ij

ij )

з

kk

3

kk

и 3

ў = T ў

(C p

/ Pr)

d

(C p

/ Pr),

dT

ў

ж

1 ц

= T ў

d

ж 1 ц

,

з

ч

з

ч

dT

и Cv ш

и Cv ш

ў = T ўddT .

+ Pўцч ij ,

ш

Система (10.2) описывает развитие возмущений в пространстве и времени, ее коэффициенты – известные функции, определяемые стационарным решением.

Интегрирование системы (10.2) представляет сложную задачу. Точных ее решений в настоящее время нет. Однако существует широкий класс течений, когда возможны упрощения системы. К ним относятся течения в пограничном слое, в свободных и пристенных струях, слоях смешения. Такие течения можно рассматривать как близкие к параллельным.

10.3. Приближение параллельного течения

Пусть течение осуществляется в направлении x1, а параметры потока зависят только от x2. Тогда частные решения системы (10.2) можно записать в виде

Qў = g (x2 )exp{i ( x1 + x3 - ct)},

(10.3)

10.3. Приближение параллельного течения			95
здесь	и	– волновые числа возмущения;	c – фазовая скорость. В общем
случае	,	и c – комплексные числа. Если рассматривать решения для дейст-
вительных		, и комплексных c, то мы будем изучать возмущения, растущие

во времени (временнáя неустойчивость). В большинстве реальных течений возмущения растут не во времени, а в пространстве (пространственная неустойчивость). Такие течения описываются при реальных c и комплексном . В первом случае устойчивость течения определяется знаком Im c = ci, во вто-

ром – знаком Im	= i.
Подстановка	выражения (10.3) в систему (10.2) приводит к системе

обыкновенных дифференциальных уравнений, которая очень громоздка. Однако, если учесть, что неустойчивость возникает при больших числах Рейнольдса, и пренебречь членами, содержащими множитель 1/Re в безразмерной записи уравнений (кроме члена со старшей производной), мы получим следующую систему уравнений:

i

V

c

f

V

i

/

M2

f / Re,

i

V

c

h

i

/

M2

h

/ Re,

i

2

V

c

/

M2

0,

(10.4)

i

V c

T

1

i

f

i

h

/ Pr Re,

i

V

c

r

i

f

i h

0,

P

r

T.

Здесь V, , T,

, P –

усредненные скорость, плотность, температура, вязкость,

давление; f, , h – амплитуды возмущений скорости (продольной, нормальной, боковой (трансверсальной)); , , r – амплитуды возмущений давления, температуры, плотности; М – число Маха, Re, Pr – число Рейнольдса, построенное по толщине пограничного слоя, и Прандтля; штрих означает дифференцирование по координате y = x2/ .

Граничные условия задачи (10.4) зависят от конкретного течения. Для

течения в пограничном слое их можно взять в виде
f(0) = (0) = (0) = 0,	(10.5)

f, , ограничены при y .

96	10. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

10.4. Уравнение Орра–Зоммерфельда

Рассмотрим более простой случай развития двумерных возмущений в несжимаемой жидкости. В системе (10.4) останутся существенными следующие уравнения:

i V c f	V	i / M2	f /	Re,
i	2 V c	/	M2 ,	(10.6)
	if	,

которые можно свести в одно дифференциальное уравнение

V c	2	V	i / Re.	(10.7)

Уравнение (10.7) представляет собой упрощенный аналог известного уравнения Орра–Зоммерфельда

V c	2 V	i	2	2	4 ,	(10.8)
		Re

из которого исключены члены с множителем 1/Re при производных низших порядков.

10.5. Задача на собственные значения

Решение (10.4) с граничными условиями (10.5) представляет собой классическую задачу на собственные значения, в которой с является искомым собственным значением для каждой пары величин ( , Re).

Рассмотрим, например, устойчивость течения несжимаемой жидкости в пограничном слое на пластине. Для определенности предположим, что возму-

щения развиваются во времени (	– вещественное, c – комплексное). Гранич-
ные условия (10.5) можно принять в виде
(0) =	′(0) = ( ) = 0.	(10.9)

10.5. Задача на собственные значения

97

Так как V( ) = V = const, уравнение (10.8) вдали от поверхности переходит в уравнение с постоянными коэффициентами. Его решение вне пограничного слоя, удовлетворяющее третьему условию (10.9), будет

	c1 1		c2	2 ,
	1 exp		y	,	(10.10)
2 exp	2		i Re 1		c y .
После того как численным или аналитическим методом найдены решения 1							и
2 в области пограничного слоя, необходимо подобрать такие константы c1							и

c2, чтобы выполнялись два оставшихся условия (10.9) на поверхности. Эти условия дают уравнение для определения c:

	F(c, , Re)	1(0),	2	(0)	0.	(10.11)
		1(0),	2 (0)

Решение (10.11) дает c = c( , Re). Задавая различные значения Re, можно провести исследования различных течений с профилем скорости V(y), а задавая различные значения – рассмотреть устойчивость каждого течения к возмущениям со всевозможными длинами волн. Множество точек в плоскости ( , Re), в которых ci = 0, образует кривую нейтральной устойчивости. Наименьшее значение числа Рейнольдса на ней – Reкр называется критическим значением числа Рейнольдса. При всех Re < Reкр возмущения всех длин волн затухают со временем, при Re > Reкр существует ряд волновых чисел , при которых возмущения растут, т.е. имеет место неустойчивость.

Нейтральная кривая для течения Блазиуса приведена на рис. 10.1. Первоначально задача устойчивости течения Блазиуса была решена асимптотическим методом (Толлмин, 1929; Шлихтинг, 1933). В дальнейшем проводились систематические расчеты более точными численными методами. Результаты расчетов получили экспериментальное подтверждение в работе Г. Шубауэра и Г. Скрамстеда (1947). Наблюдаемые в эксперименте волны были названы волнами Толлмина–Шлихтинга.

Упрощенная физическая интерпретация возникновения и развития волн Толлмина–Шлихтинга приведена на рис. 10.2. Пусть имеется два слоя потока с разными скоростями V1 и V2, разделенных линией. Перейдем в систему координат, движущуюся со средней скоростью (V1 + V2)/2. При случайном малом

98	10. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

V1

V 2

Рис. 10.2

изгибе разделительной линии (например, вверх) площадь верхнего потока сокращается, скорость жидкости в области изгиба увеличивается и давление падает (согласно уравнению Бернулли). Снизу изгиба площадь потока увеличивается, скорость потока падает, давление увеличивается. Результирующие силы показаны на схеме стрелками. Оба этих процесса усиливают изгиб разделяющей линии, что приводит к дальнейшей неустойчивости такого течения. Вначале силы вязкости препятствуют деформации и стабилизируют течение. При увеличении числа Рейнольдса после сечения Re = Reкр волны растут по экспоненциальному закону до сечения, за которым начинались нелинейные процессы, и течение переходило в турбулентное состояние.

Поведение возмущений до зоны перехода достаточно точно описывается линейной теорией устойчивости, и ее можно использовать для предсказания зоны перехода. В настоящее время развито несколько полуэмпирических методов, основанных на расчетах коэффициентов усиления возмущений (– i), для предсказания перехода, которые успешно применяются как при малых дозвуковых, так и при больших сверхзвуковых скоростях течения.

10.6. Нелинейная теория устойчивости

Для решения вопроса о нелинейном развитии возмущений надо решать полную нелинейную систему уравнений, полученную из уравнений движения жидкости или газа. В настоящее время достигнуты некоторые успехи в численном моделировании нелинейных процессов в простейших течениях на современных суперЭВМ, но задача эта очень сложна и полностью не решена до настоящего времени. Изложить в рамках одного раздела все существующие подходы невозможно. Отметим только, что нелинейное развитие возмущений и

10.7. Переход ламинарного течения в турбулентное

99

возможные пути перехода к турбулентному режиму течения впервые были рассмотрены Л.Д. Ландау. Он предложил уравнение, описывающее изменение квадрата модуля амплитуды A возмущений некоторого параметра во времени:

	A		2	2		A		2		A		4 .
	t

Анализ этого уравнения показал, что возможно жесткое самовозбуждение системы, т. е. она неустойчива по отношению к возмущениям конечной амплитуды, но устойчива к малым возмущениям. При мягком самовозбуждении, неустойчивом по отношению к бесконечно малым возмущениям, система может выйти на новый ламинарный режим, который тоже может оказаться неустойчивым. В настоящее время теория Ландау получила дальнейшее развитие при изучении бифуркаций решений, нелинейного резонансного взаимодействия возмущений и стохастизации детерминированных систем.

Экспериментальные исследования нелинейной неустойчивости в пограничном слое показывают, что турбулизации течения всегда предшествует появление в области перед переходом возмущений с ярко выраженной трехмерной структурой. При появлении таких образований в пограничном слое поле средних и пульсационных скоростей приобретает периодическую структуру в трансверсальном направлении. На картинках визуализации течения хорошо видно наличие крупномасштабных неоднородностей, так называемых - образных вихрей, которые, развиваясь вниз по потоку, нарастают, всплывая по направлению к внешней границе пограничного слоя и взаимодействуя друг с другом, приводят к турбулизации течения. Следует заметить, что в зависимости от амплитуды первичных волн и их спектра в пограничном слое могут наблюдаться различные сценарии ламинарно-турбулентного перехода. Они определяются преобладанием тех или иных нелинейных механизмов.

10.7.Переход ламинарного течения

втурбулентное

Теория устойчивости дает много полезной информации о состоянии ламинарного течения. Она очень полезна при поиске путей воздействия на ламинарное течение, но пока не позволяет надежно предсказать положение перехода ламинарного течения в турбулентное.

100	10. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

Уже упоминалось о жестком возбуждении – неустойчивости по отношению к возмущениям конечной амплитуды. Такие возмущения могут возникать на поверхности летательного аппарата за счет шероховатости, наличия технологических элементов, окон, дверок, за счет вибраций, вхождения в области с повышенной турбулентностью, в местах стыковки теплоизоляционных пластин (как у воздушно-космических аппаратов типа «Буран») и т.д. Возникновение турбулентного режима в этих случаях происходит без предварительного усиления возмущений в соответствии с линейной теорией устойчивости. Для надежного прогнозирования перехода в этих условиях остаются только опытное определение перехода и построение корреляционных зависимостей.

Однако при полете в спокойной атмосфере на аппаратах без провокационных турбулизаторов переход может осуществляться через усиление малых возмущений. Процесс перехода в этом случае можно условно разделить на три этапа:

1)восприимчивость или генерация волн в пограничном слое;

2)их усиление по законам линейной теории;

3)нелинейное разрушение ламинарного режима течения.

Каждому из этих этапов соответствуют характерные области в пространстве по мере удаления от передней кромки крыла самолета вниз по потоку. Отметим, что последняя, нелинейная, область перехода относительно малопротяженна и характер ее в значительной степени определяется свойствами исходного течения, внешних возмущений и процессами, происходящими в предыдущих двух областях.

Фактически мы уже ознакомились со вторым и третьим этапами перехода, которые вместе описывают процесс развития возмущений. Первый этап (восприимчивость течения) дает начальные условия для неустойчивости. Понятно, что переход определяется не только тем, как быстро растут возмущения, но и тем, какова их начальная амплитуда. Именно восприимчивость дает возможность связать внешние возмущения с начальными возмущениями в пограничном слое. Источником начальных возмущений может быть звук (особенно важный источник при сверх- и гиперзвуковых режимах полета), вибрации поверхности, турбулентность набегающего потока, шероховатость поверхности и т. п. в тех случаях, когда их воздействие невелико и порожденные ими возмущения малы. Разбиение на три этапа весьма условно, и, как правило, этап нелинейного разрушения разделяют на дополнительные стадии. Один из возможных