Динамика вязкого газа, турбулентность и струи

2.2. Течение Куэтта между нагретыми плоскостями

31

Подставляя выражение (2.11) в (2.12), получаем

d 2T

V 2

(2.14)

= -

.

dy2

h2

Общее решение (2.14) запишем в виде

T = -

V 2

y2

+ ay + b.

(2.15)

2 h2

Из граничных условий находим

T - T

V 2

a =

1

0

+

, b = T0.

(2.16)

h

2

h

Решение задачи (2.14) с граничными условиями (2.13) можно представить в виде

T - T

y

1 y ж

y ц C p

V 2

y

1

y ж

y ц

0

=

+

з1

-

ч

=

+

Pr Ec

з1

-

ч

, (2.17)

C p (T1 - T0 )

T1 - T0

h

2 h и

h ш

h

2

h и

h ш

где число Прандтля и Эккерта	определено ранее, как	Pr =	Cp
Ec = V 2/ C p(T1 - T0 ) . Решение (2.17)	(рис. 2.2) напоминает решение (2.6) и

также является суперпозицией линейного и параболического распределений. Тепловой поток определяется производной от температуры по нормаль-

ной координате.
	dT		(T1	- T0 ) ж		1	ж		2 y цц		(2.18)
		=		з1	+		Pr Ec з1	-		чч .
	dy			h и		2	и		h шш

Пусть T1 – T0 > 0 (движущаяся поверхность нагрета сильнее). Тогда при y = h

dT		(T1	- T0 ) ж		1	ц
	=		з1	-		Pr Ecч .	(2.19)
dy			h и		2	ш

32	2. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ВЯЗКОГО ГАЗА

При выполнении условия ¶¶Ty = 0 меняется направление теплопередачи.

Оно соответствует теплоизолированной поверхности, т.е. тепло не передается стенке. Из (2.19) следует, что ¶¶Ty = 0 при выполнении условия Pr Ec = 2. Для

		ж ¶T	ц	; для Pr Ec <
случая Pr Ec > 2 тепло передается от жидкости к стенке з			> 0ч
		и ¶y	ш
< 2 – от стенки к жидкости	ж ¶T	ц
	з	> 0ч .
	и ¶y	ш

При движении вязкой жидкости за счет внутреннего трения происходит нагрев жидкости и стенок, с которыми она соприкасается. Пусть обе поверхности нагреты одинаково: T1 = T0. Тогда из (2.17) следует, что

		V 2		y ж			y ц		(2.20)
T = T0	+				з1	-		ч .
		2
				h и			h ш

Максимальная температура достигается при y = 0,5h:

			Tmax = T0	+			V	2	.	(2.21)
						8
Температура теплоизолированной поверхности Те										определяется из условия
¶T		y=h = 0	. Она равна
¶y
			Te = T0 +				V 2	.		(2.22)
						2

Запишем выражения для Тmax (2.21) и Те (2.22) через число Маха М и Прандтля

Pr, с использованием скорости звука

c2

= RT

:

0

0

Tmax

= 1 +

-1

Pr M2

,

T0

2

Te

= 1 +

-1

Pr M2.

T0

2

Видно, что нагрев жидкости зависит от скорости течения и пропорционален квадрату числа Маха.

2.3. Течение Гагена–Пуазейля	33

2.3. Течение Гагена–Пуазейля

Течением Гагена–Пуазейля называют установившееся течение в прямом канале. Рассмотрим течение в прямой трубе круглого сечения. Если использовать цилиндрические координаты (r, , z) и обозначить через u составляющую скорости вдоль z, то можно принять

¶¶uz = ¶¶u = 0.

Тогда систему уравнений движения можно представить в виде

	¶p	= 0,	¶p	= 0,
	¶r		¶

(2.23)

1¶p = ¶2u + 1 ¶u .

¶z ¶r2 r ¶r

Граничные условия: u = 0 при r = R, где R – радиус трубы, скорость ограничена при r = 0. По аналогии со случаем, рассмотренным в разделе 2.1, получаем

p = p(z) и dpdz = const . Проинтегрировав (2.23), находим

u = 41 dpdz r2 + a ln r + b.

Постоянную a надо положить равной нулю, так как скорость в центре трубы должна оставаться конечной. Постоянную b определяем из граничных условий. Тогда

u = -	1		dp	(R2	- r2 ).	(2.24)
	4		dz

34 2. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ВЯЗКОГО ГАЗА

Мы получили параболическое распределение с максимумом на оси трубы при

R2

dp

umax

r = 0,

umax = -

и средним значением скорости, равным u =

.

4

dz

2

Легко определить расход жидкости в трубе

R

R4

p - p

Q = 2 т rudr =

1 2

.

(2.25)

0

8

l

Здесь учтено, что если известно давление

на концах трубы длиной l, то

dp

=

p1 - p2

. Подставим выражение для средней скорости в (2.25). Тогда рас-

dz

l

ход жидкости в трубе

Q =

R2

.

(2.26)

u

Введем коэффициент сопротивления

, который подчиняется соотношению

dp

2

-

=

u

(2.27)

dz

2R 2

и является коэффициентом пропорциональности между падением давления в трубе и скоростным напором. Для рассматриваемого течения

=	32			.	(2.28)
		uR
Определим число Рейнольдса, вычисленное по диаметру трубы d: Re =						ud	.
Выражение для тогда можно представить в виде
=		64	.		(2.29)
		Re

Выражение (2.29) представляет собой закон сопротивления для гладких труб.

2.4. Несколько замечаний о применимости полученных результатов

35

2.4.Несколько замечаний о применимости полученных результатов

Хотя при решении рассмотренных задач не накладывалось никаких математических ограничений на число Рейнольдса, полученные результаты справедливы не всегда. Уравнения Навье–Стокса справедливы для ламинарных течений. При достижении некоторого критического значения числа Рейнольдса Reкр предположение о слоистости течения нарушается, ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное состояние. На рис. 2.3 приведена зависимость = (Re) – закон сопротивления для гладких труб. Кривая 1 отражает закон Гагена–Пуазейля (2.29) для ламинарного течения, который достаточно хорошо подтверждается экспериментальными данными до Reкр 2300. Для больших чисел Рейнольдса экспериментальные точки отклоняются от зависимости 1 на рис. 2.3 и соответствуют сначала переходному режиму, а затем – турбулентному.

10
9
8
7
6
5			эксперимент
4
3
2	1
			3
1
0.9			2
0.8
0.7				Re
1E+003	1E+004	1E+005	1E+006
		Рис. 2.3

36	2. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ВЯЗКОГО ГАЗА

Задача 2.1

Рассматривается течение между двумя пластинами. На нижней пластине укреплен плавающий элемент – аэродинамические весы, измеряющие касательную силу. Пусть R – радиус чувствительного элемента, 2h – расстояние между пластинами, р1 и р2 – давление в зазоре в передней и задней точках элемента. Найти силу, которую покажут весы.

Задача 2.2

Рассматривается течение между двумя неподвижными пластинами с одинаковой температурой Т0. Течение осуществляется за счет перепада давле-

ния dpdx = pў . Найти распределение температуры и максимальную температуру в потоке.

Задача 2.3

Рассмотреть течение в кольцевом зазоре между двумя трубами радиусом R1 и R2. Перепад давления р на длине трубы l задан. Найти распределение скорости в зазоре.

Задача 2.4

В вертикальную трубу с внутренним радиусом R, заполненную вязкой жидкостью, вставлен невесомый цилиндр длиной L, радиусом, меньшим R на величину h. При этом выполняются следующие неравенства: L>>R и h<<R. Найти стационарную скорость всплывания цилиндра в трубе U.

Задача 2.5

На плоскую поверхность в несжимаемой жидкости с вязкостью с начальной скоростью v0 падает торцом цилиндр радиусом а. Найти зависимость скорости цилиндра от расстояния h между торцом цилиндра и поверхностью и минимальное расстояние, на которое он может приблизиться к поверхности. Силой тяжести пренебречь.

	3.1. Обтекание шара. Приближение Стокса	37

3. ПОЛЗУЩИЕ ДВИЖЕНИЯ

При достаточно малых числах Рейнольдса Re < 1 в уравнениях (1.20) можно пренебречь инерционными членами. Тогда стационарное течение несжимаемой жидкости будет описываться следующей системой урав-

нений:

¶p		¶2u	¶u j
	=	i ,		= 0.	(3.1)
¶xi		¶x2j	¶x j

Граничные условия остаются прежними. Эти уравнения выполняются для течений, которые характеризуются малыми значениями скорости, большими значениями вязкости или малыми характерными размерами. Уравнения движения в этих случаях становятся линейными, и в некоторых случаях для них можно найти точные решения. Полученные решения можно рассматривать как первое приближение решений уравнений Навье–Стокса при малых значениях числа Рейнольдса.

3.1.Обтекание шара. Приближение Стокса

Вкачестве примера ползущего движения рассмотрим прямолинейное и равномерное движение шара со скоростью V через вязкую жидкость (G.G. Stokes, 1851). Задача о движении шара эквивалентна задаче об обтекании неподвижного шара потоком, имеющим на бесконечности скорость V. Будем рассматривать течение в системе координат, начало которой совпадает

с центром шара, ось x направлена вдоль течения, расстояние до точки с координатами (x, y, z ) задается радиусом r2 = x2 + y2 + z2. Радиус шара равен r0.. Для p выбирается выражение

p = - axr-3.

(3.2)

38 3. ПОЛЗУЩИЕ ДВИЖЕНИЯ

Это есть так называемое разложение по мультиполям. Здесь использован член в виде диполя, так как задача имеет осевую симметрию и возмущения давления должны иметь выделенное направление вдоль оси х. Третья степень в знаменателе выражения (3.2), по крайней мере, обеспечивает конечную величину возмущений давления на любом расстоянии r, так как площадь, на которую воздействуют возмущения давления, растет r2. Подстановка (3.2) в (3.1) дает:

¶2u2	+ ¶2u2		+	¶2u				= a	(3x2r -5 - r -3 ),
				2
¶x	¶y			¶z
	¶2v	+	¶2v			+		¶2v	= 3axyr -5,	(3.3)
			¶y2					¶z2
	¶x2

¶2w + ¶2w + ¶2w = 3axzr-5,

¶x2 ¶y2 ¶z2

¶¶ux + ¶¶yv + ¶¶wz = 0.

Граничные условия:

u = v = w = 0 при r = r0,

u = V, v = 0, w = 0 при r

.

(3.4)

Общим решением системы (3.3) будут выражения

u = V - 2xr3 (a - cr-2 )+ 61r (b - cr-2 ),

v = -	xy	(a - dr-2 ),	w = -	xz	(a - dr-2 ).
	3			3
	2r			2r

Граничные условия (3.4) на бесконечности удовлетворятся автоматически. Уравнение неразрывности примет вид

¶u

+

¶v

+

¶w

= -xr

-1

ж a

+

b

ц

+ xr

-5

(d - c) = 0.

(3.5)

з

ч

¶x

¶y

¶z

и 2

6

ш

3.1. Обтекание шара. Приближение Стокса

39

Соотношение (3.5) должно выполняться для любого r, что дает два условия для определения констант:

	a 2 + b 6 = 0,		d - c = 0.		(3.6)
Еще два условия получим из граничных условий (3.4) на поверхности
		a - dr -2 = 0,			(3.7)
		0
V -	1	(a - cr0-2 )+	1	(b - cr0-2 ) = 0.
	2r		6r
			0
0

В результате решения системы (3.6) и (3.7) находим константы интегрирования

c = d = ar 2	,	b = -3a,	a =	3	r V .	(3.8)
0				2	0

Тогда для давления и скоростей в потоке получаем следующие соотношения

P = -

3

r Vxr -3;

2

0

й

3 r0 x

2

ж

2

ц

1 r0

ж

2

ц

щ

к

r0

r0

ъ

u = V

з

-1

-

з

3 +

ч

+1 ;

4 r3

ч

r2

к

и r2

ш

4 r

и

ш

ъ

л

ы

3

r0 xy

ж

2

ц

(3.9)

v = V

з

r0

-1 ;

r3

ч

4

и r2

ш

3

r0 xz

ж

2

ц

w = V

з

r0

-1 .

r3

ч

4

и r2

ш

В дальнейшем, в силу симметрии задачи, скорость вдоль оси z рассматриваться не будет. Рассмотрим структуру течения вдали от шара. Тогда r0/r << 1 и отношениями радиусов в круглых скобках можно пренебречь. Учитывая, что

40							3. ПОЛЗУЩИЕ ДВИЖЕНИЯ
x = cos	и y = sin	,	где	– угол,	отсчитываемый в плоскости (x, y) от на-
r	r
правления х, получаем
				й	3 r	щ	,
				u = V к1 -	0 (cos2 +1)ъ
				л	4 r	ы				(3.10)
				v = - 3 r0 cos
						sin .
				4 r
Видно, что скорость u в (3.10) увеличивается от некоторого значения до угла 90
и затем снова до него падает. Скорость v вначале равна нулю, затем достигает
максимума при угле 45			и при угле 90 снова падает до нуля. Для углов, больших
					90 , картина повторяется в обратном по-
					рядке. В этих условиях линии тока (каса-
					тельные к суммарной скорости компо-
					нент) должны вести себя так, как показа-
				х	но	на рис.	3.1. Симметрия		картины
					течения следует и из уравнений (3.1).
					При смене знака при скоростях и давле-
					нии уравнения переходят сами в себя.
						Определим силу, действующую на
					шар. Она состоит из силы давления р и
	Рис. 3.1				касательных		напряжений	. Для		этого
					получим профиль скорости вблизи по-
					верхности шара, где r = r0 +				,	<< r0.
Разложим члены с отношением радиусов в (3.9) в ряд Тейлора до второго члена

r0

@ 1 -

;

r0

@ 1 -

3

;

r03

@ 1 -

3

;

r03

@ 1 -

5

,

r

r0

r3

r3

r3

r0

r5

r3

0

0

подставим в (3.9) и после сокращений получим

3

ж

x2

ц

3

(1 - cos2

) = V

3

sin2 ;

u = V

з1

-

ч

= V

2 r

2

2 r

2 r

0

и

r0

ш

0

0

v = V	3				xy	= V	3			cos sin ;
	2 r0				r2		2		r0
				0