Динамика вязкого газа, турбулентность и струи

13.2. Плоский след

151

u

V

b

x

u1

Рис. 13.2

Для напряжения сдвига примем формулу (13.4), которая с учетом (13.15) примет вид

= 1b(umax - umin ) ¶u	=	1bu1max	¶u	=	0	¶u	,	(13.16)
¶y			¶y			¶y

причем 0 = 1bu1max = const.

Линеаризованное стационарное уравнение движения (13.1) запишем сле-

дующим образом:

¶u

¶2u

V

1

= 0

1 .

(13.17)

¶x

¶y2

Уравнение (13.17) отличается от уравнения (9.6) только заменой

на 0. Его

решение мы уже знаем:

ж x ц-1/ 2

V

u1

= CV з

ч

g (

),

= y

.

(13.18)

x

и l

ш

Тогда для турбулентного следа по аналогии имеем

ж x ц-1/2

u1 = CV з

ч

g (

) ,

(13.19)

и d ш

где g ( ) = exp (- 2 4),

= y

0 x .

152

13.СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Константу C определим из закона сохранения (13.14):

Cw

Vd

C =

.

(13.20)

4

0

Таким образом, окончательно имеем решение

-1/ 2

u

1

VC

w

d ж x

ц

1

=

з

ч

exp (- 2 4).

(13.21)

V

4

0

и Cwd ш

Решение (13.21) для распределения скорости по ширине спутного течения представляется функцией ошибок. Входящую в распределение эмпирическую постоянную 0 находят из опыта.

13.3.Спутное течение за решетками из стержней

Хорошую иллюстрацию применения формулы (13.3) дает задача о спутном течении за решетками из стержней, расположенных друг от друга на одинаковом расстоянии (рис. 13.3). На некотором расстоянии за решеткой ширина спутного течения, вызванная одним стержнем, сравняется с шагом решетки, b = . Рассмотрим течение, где ширина не изменяется, а скорость спутного течения u1 = V – u << V. Уравнение движения будет иметь вид

V	¶u1	=	1		¶	.	(13.22)
	¶x				¶y

Примем, что u1 = x p f (y). Тогда из уравнения (13.22) получим, что p = –1. Из характера задачи следует, что распределение скорости по ширине спутного

13.3. Спутное течение за решетками из стержней

153

течения должно выражаться периодической относительно y функцией с периодом 2 / . Полагаем, что

u= VAж x ц-1

1з ч и ш

ж		y ц
cos з	2		ч .	(13.23)
и			ш

b	b
	Рис. 42.
	Рис. 13.3

Если принять в формуле (13.3) l = const, l1 = /2 , получим особенно простой результат:

1 ¶				2	ж x ц-2				2 2	ж 2
			= l		з		ч	V	A	з
		¶y
					и		ш			и

v ¶u1 = V 2 Acos ж2

з

¶x и

ц3	ж	2
ч	cos з
ш	и

y ц		x-2 .
	ч
	ш

yц

ч ,

ш

(13.24)

(13.25)

Приравнивая согласно (13.22) выражения (13.24) и (13.25), получим, что

ж		ц2		3	.
A = з		ч	8
и	l ш

Решением задачи будет распределение

u		1 ж			ц2		ж
1	=		з		ч		cos з	2
V		8 3 и l ш				x	и

yц

ч .

ш

(13.26)

(13.27)

154 13.СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Распределение (13.27) совпадает с экспериментальными данными для x / > 4. Для длины пути смешения позади решетки из цилиндрических стержней

с отношением /d = 8 получается значение l / = 0,103.

Задача 13.1

Найти распределение скорости на удаленном расстоянии за системой равноотстоящих стержней исходя из выражения для турбулентного напряже-

ния = b 1 (Umax -Umin ) ¶¶Uy .

Задача 13.2

Найти распределение скорости на удаленном расстоянии от тела толщиной d. В качестве турбулентного напряжения использовать формулу Прандтля

=l2 жз ¶u цч2 .

и¶y ш

14.ТЕЧЕНИЕ СТРУЙ

14.1.Структура и режимы течения

вдозвуковых и неизобарических сверхзвуковых турбулентных струях

Свободные газовые турбулентные струи можно разделить на две большие группы: дозвуковые и сверхзвуковые газовые струи. В дозвуковых струях во всех точках течения скорость газа меньше местной скорости звука. В

сверхзвуковых струях имеются области, где скорость течения газа превышает местную скорость звука. Сверхзвуковые струи могут быть изобарическими и неизобарическими. Для изобарических струй характерно постоянство давления во всем поле течения, в неизобарических струях давление может существенно изменяться как по длине струи, так и поперек течения. Неизобарические струи образуются при истечении газа из сопла на нерасчетном режиме, т. е. когда давление ра на срезе сопла отличается от давления р в окружающей газовой среде. При этом возможно как недорасширение потока в сопле (ра > р ), так и его перерасширение (ра < р ). Нерасчетность истечения характеризуется степенью нерасчетности n = рa/р . При n < 1 струя называется перерасширенной, а при n > 1 – недорасширенной. Если в дозвуковой и изобарической турбулентной струе основным процессом является вязкое перемешивание, а радиальная компонента скорости на срезе сопла с нулевым углом на выходе практически равна нулю, то в недорасширенной струе из-за нерасчетности истечения сразу за срезом сопла газ приобретает заметную скорость в радиальном направлении, что приводит к сложному течению с областями расширения и сжатия,

156	14. ТЕЧЕНИЕ СТРУЙ

а также с ударными волнами сложной конфигурации. На рис. 14.1 показана упрощенная схема сверхзвуковой неизобарической (недорасширенной) струи, истекающей в затопленное пространство из сопла 1. При этом радиальная компонента скорости газа вблизи границы струи оказывается существенно переменной по длине струи и может несколько раз менять свое направление, пока под воздействием диссипативных эффектов не станет пренебрежимо малой. Такая особенность приводит к тому, что на некотором расстоянии от среза сопла граница струи может образовывать последовательность характерных бочкообразных приближенно подобных структур 2, хорошо видных на фотоснимке, очертания которых постепенно размываются под воздействием эффектов вязкости, теплопроводности и диффузии, протекающих в нарастающем вдоль границы струи слое смешения 3, а также под воздействием волновых потерь на скачках уплотнения. В слое смешения струи 3 скорость потока изменяется от максимальной величины на внутренней границе слоя смешения до нуля на внешней. Область вблизи оси потока, ограниченная внутренней границей слоя смешения 5, называется потенциальным ядром струи. Внутри него силами вязкости можно пренебречь и считать течение в нем течением идеального газа. Между внутренней и внешней границами слоя смешения проходит так называемая звуковая линия 4 (пунктир на рис. 14.1), которая разграничивает течение газа в струе со сверхзвуковой и дозвуковой скоростью. Волновые структуры в струе существуют только в пределах звуковой линии 4.

	1		3
	2
		5
		4
	Начальный участок	Переходный участок	Основной
			участок

Рис. 14.1

14.2. Граница слоя смешения дозвуковой струи

157

14.2.Граница слоя смешения дозвуковой струи

Рассмотрим вопрос о расширении границ турбулентной струи. Предположим, что скорость нарастания толщины пограничного слоя b пропорциональна пульсационной составляющей поперечной скорости

dbdt » vў,

которая пропорциональна поперечному градиенту продольной скорости потока

vў » l dudy .

Здесь l – путь турбулентного смешения. Ввиду подобия профилей скорости в различных сечениях слоя смешения струи поперечный градиент продольной скорости пропорционален разности скоростей на границах:

du » u1 - u2 . dy b

Вследствие этого имеем

vў » bl (u1 - u2 ) .

Из подобия профилей скорости следует, что l/b = const. Поэтому

vў » u1 - u2.

Отсюда

vў » dbdt = dbdx dxdt = dbdx u,

и закон нарастания толщины слоя смешения по длине струи можно представить в следующем виде:

158

14. ТЕЧЕНИЕ СТРУЙ

db

»

vў

»

u1 - u2

.

dx

u

u

Величина v'/u называется степенью турбулентности потока, она всегда положительна и, следовательно, db/dx > 0. Величина u может быть оценена для несжимаемой жидкости как

u

й

u

+

2

щ

u @

л

1

ы

.

2

Тогда

db

» c

u1 - u2

.

dx

u1

+

u2

Для постоянных по длине значений скорости на границах величина в правой части выражения является постоянной. Следовательно, и db/dx = const. В случае u2 = 0 можно получить зависимость толщины от координаты вдоль струи b3 = cx. Тогда в общем случае толщина струи определяется как

b	= ±	u1	- u2	,
b3		u1	+ u2

причем знак минус берется при u1 > u2. Следовательно, если внешний поток (скорость u2) является спутным струе, то это уменьшает угол расширения границ струи и он доходит до нуля при равенстве скоростей потока и струи. Если поток встречный, то угол расширения струи остается постоянным и равным углу при истечении струи в неподвижное затопленное пространство, хотя это и звучит несколько парадоксально. Экспериментально показано, что для холодной струи (комнатная температура) воздуха угол расширения составляет 6 . Угол расширения сверхзвуковых струй ненамного отличается от этого значения.

	14.2. Граница слоя смешения дозвуковой струи	159

15. ШУМ СТРУЙ

Звук аэродинамического происхождения можно определить как звук, возникающий в результате воздействия воздушного потока на окружающую среду, т.е. причинами образования шума является движение воздушного потока, а не колебания твердых тел, что обычно рассматривается в клас-

сической акустике.

В связи с развитием авиационной и ракетной техники появились многочисленные работы по исследованию звука аэродинамических источников. Наиболее важным из них является шум струи и шум пограничного слоя. В 1952–1954 гг. появились работы Лайтхилла, в которых изложены основы общей теории аэродинамического шума. Эта теория получила широкое применение, особенно в разработке шума турбулентных струй и шума турбулентного пограничного слоя.

Шум струи создается турбулентными движениями жидкости в слое смешения. Струйки жидкости, хаотически сталкиваясь, создают радиальные сжатия и расширения элементарных объемов потока, колебательные движения этих объемов, их нерадиальные сжатия и расширения. К тому же эти движения сопровождаются генерацией звуковых волн. Модельное представление аэродинамического шумообразования основано на том, что все эти аэродинамические механизмы сводятся к модельным источникам, т.е. к элементарным источникам, акустические характеристики которых известны. Любой из перечисленных аэродинамических источников шума можно отнести к модельному акустическому источнику в соответствии с преобладающим механизмом шумообразования. Практический интерес представляют первые три мультиполя низшего порядка: монополь, диполь и квадруполь. Ниже приведены основы теории шума дозвуковых струй.

160	15. ШУМ СТРУЙ

15.1. Шум турбулентных дозвуковых струй

15.1.1. Основное уравнение шумообразования

Запишем уравнение неразрывности в тензорном представлении

	¶	+	¶(	ui )	= Q,	(15.1)
	¶t		¶xi

где – плотность; ui – скорость течения жидкости в направлении xi; t – время;

Q – производительность источника жидкости за единицу времени на единицу объема. Запишем уравнение движения

¶( ui )

+

¶

( uiu j

+ pij ) = Fi ,

(15.2)

¶t

¶x

i

где Fi – массовая сила на единицу объема;

uiuj – тензор касательных напря-

жений Рейнольдса;

й

¶u

¶u j

2 ¶u

k

щ

pij = p ij +

к-

i

-

+

ij ъ

¶xi

3 ¶xk

к

¶x j

ъ

л

ы

–тензор напряжений от сил давления (первый член) и вязкости (второй член);

– коэффициент сдвиговой вязкости,

ij = 1 при i = j

ij = 0 при i № j – символ Кронекера.

Дифференцируя уравнение (15.1) по времени, а уравнение (15.2) по xi и вычитая одно из другого, получаем

¶2		¶Q		¶F	¶2	( uiu j + pij ).
¶t2	=		-	i +			(15.3)
					¶xi¶x j
		¶t		¶xi