Динамика вязкого газа, турбулентность и струи

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ						201
Подставим ** в уравнение для импульса и получим
4 -		¶			=		.
2			¶y			2 V
После интегрирования, считая, что			= 0 при х = 0, получим
					2 x
=								.
		(4 -				) V

Решение задачи 6.3

В критической точке поток тормозится и вблизи поверхности можно положить, что V = ax.

Распределение скорости в пограничном слое задается полиномом

u* / VҐ = Ci ( y			)i , где i = 0, 1, 2.
Граничные условия задачи:	u = 0 при y = 0,
	u = V		при y = ,
	¶u	= 0	при y = 0.
	¶y

Определяем Сi из граничных условий и получаем

ж

y

y2 ц

u = VҐ з2

-

ч ,

2

и

ш

ж

2V

ц

0

=

з

Ґ

ч ,

и

ш

* =

,

3

** =

2

.

15

202 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Запишем уравнение для импульса

¶ **

1

¶V

0

+

¶xҐ (2 ** +

* ) =

.

¶x

V

2

Ґ

V

Ґ

Подставим в уравнение для импульса величины u,

0,

*, ** и V и получим

2

¶

9

2

a

+

=

.

15

¶x

15

x

x

Преобразуем его:

¶

2

2

30

.

+ 9

=

¶x

x

ax

Умножим его справа и слева на х9 и преобразуем к виду

¶(x9

2 )

8 30

.

= x

¶x

a

После интегрирования, учитывая, что при х

0 толщина пограничного слоя

стремится к нулю, получаем

x9 2 = x8 30a .

Отсюда =		30		.
		9 ax

Решение задачи 6.4

Для такого течения = 0; H* = 0,3; H** = 0,1175; b = 2. Уравнение импульсов примет вид

0,1175 = 2 /(V ).

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ	203

Будем считать, что = 0 при х = 0. Тогда интегрирование уравнения импульсов дает = 5,83 xV . Вычислим интегральные характеристики пограничного слоя:

*= 1, 75 Vx ;

**= 0, 685 Vx ;

	V 3
xy = 0,343		.
	x

Решение задачи 7.1

Пусть , *, ** – интегральные толщины пограничного слоя при М 0,

а , *,

** – интегральные толщины пограничного слоя при М = 0. Из пере-

менных Дородницына следует, что для условий задачи

= т Td , где для теп-

(

)

0

2

лоизолированной пластины T (

)

= 1 +

-

1

M2 1

-U 2

,

тогда

=

0т

м1 +

-1

M2

1 -U 2

ьd .

2

о

(

)ю

н

э

Здесь U(

) – профиль Блазиуса для М = 0.

= -

-1

M2 т (1 - u2 + u - u)d =

2

0

-1

2

м

ь

= -

M

п

т (1 - u) d + т u (1 - u) d

п

=

н

э

2

п

0

0

п

о

ю

= -

-1

M2 { * + **}.

2

204 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Отсюда следует

= 1 +

-1

M2

ж

*

** ц

з

+

ч .

2

и

ш

Так как для М = 0

» 5

x

,

UҐ

* » 1, 72

x

,

UҐ

** » 0, 664

x

,

UҐ

тогда

= 1 + 0, 48

-1

M2 .

2

Аналогичным образом:

* =

т

(

)

т

т

т

л(

)

ы

* - ;

1

-

u

dy =

-

udy =

-

ud

= +

й 1 - u

-1щd

= +

0

0

0

0

** = т (1 - u)

udy = т (1 - u)ud =

**;

0

0

*

= 1 +

-1

M2

ж

*

+

** ц

+

*

-1 = 0,34 + 0, 48

-1

M2.

з

ч

2

и

ш

2

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ	205

Решение задачи 7.2

Для областей I и II справедливы интегралы Крокко

	T = Tw + (T0 - Tw )u -	-1	M2u2 .	(1)
		2

На границе y = 0 должны совпадать тепловые потоки.

k1 ¶TI = k2 ¶TII при y = 0.

¶y ¶y

Используя интеграл (1), получаем

k1 (T0I -Tw ) ¶¶uyI = k2 (T0II -Tw ) ¶¶uyII .

y

Используем переменные Дородницына

= т

dy ,

приводящие задачу опти-

0

мального пограничного слоя к задаче Блазиуса:

k1w (T0I -Tw ) ¶uI

Iw = k2w (T0II

-Tw )

¶uII

IIw.

¶

¶

¶u

V 3

1

k

T

Учитывая, что

= 0, 332

Ґ

,

=

,

1

=

1

=

1

и Re

= Re

, получим

¶

x

T

k2

11

12

2

T2

(T0I - Tw )

uҐI = (T0II - Tw )

uҐ .

(2)

Для u из изоэнтропических соотношений получим

uҐ =

RT0

M .

-1

1 +

M2

2

206 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Отсюда

T

ж1 +

-1

M2

ц

ч

0I

з

uҐI

=

и

2

2 ш

MI

.

(3)

-1

uҐII

ж

2

ц MII

T0II з1

+

M1

ч

2

и

ш

Подставляя (3) в (2), получаем

T

ж1 +

-1

M2

ц

ч

0I

з

2

2

MI

T

и

ш

- T

0I

ж

-1

2 ц

MII

0II

T0II з1 +

2

M1

ч

Tw =

и

ш

.

T

ж1 +

-1

M2

ц

ч

0I

з

2

2

MI

и

ш

-1

ж

-1

2 ц

MII

T0II з1 +

2

M1

ч

и

ш

Решение задачи 7.3

Максимальная температура в пограничном слое будет в той точке, где выполняется условие ¶¶Ty = 0 . Распределение температуры в пограничном слое задается интегралом Крокко

	T = Tw + (T0 - Tw )u -	-1	M2u2 .
		2

Дифференцируя это выражение по y, получаем

¶¶Ty = (T0 -Tw ) ¶¶uy - ( -1)M2u ¶¶uy .

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ	207

Из условия максимума температуры получим, что максимальная температура достигается в точке, где

u = (T0 - Tw ) / ( -1)M2 .

Подставив это значение скорости в интеграл Крокко, получим максимальную температуру в пограничном слое

T = Tw + 1 ((T0 - T)w )2 .

2 -1 M2

Решение задачи 8.1

Используя параметры Степанова–Манглера

x

x = т r2dx = x3 / 3 , или x = 33x .

0

Тогда U (x) = u1x = u133x = C x1/3.

	Получим решение из семейства Фокнер–Скэн
	U (x ) = C x m для m = 1/3, или =	2m		=	1	.
		m +1			2

Решение задачи 10.1

Схема течения показана на рис. 10.5. Уравнение неразрывности и уравнение движения в этом случае будут иметь вид

		¶u	+ ¶v = 0,
		¶x	¶y
¶u	+ u	¶u	+ v	¶u	= -	1 ¶p			,	(1)
¶t		¶x		¶y				¶x
¶v	+ u	¶v	+ v	¶v	= -	1	¶p .
¶t		¶x		¶y				¶y

208 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Параметры течения в верхнем слое представим в виде средних значений и пульсаций:

= ; u = u0		+ uў; v = vў; p = p0				+ pў.
1	1	1	1	1	1	1

Здесь u0 – разница скоростей между слоями, причем в системе координат, движущейся вместе со скоростью нижнего слоя, она равна скорости верхнего слоя. Соответственно скорость нижнего слоя будет равна нулю. Подставим эти параметры в уравнения (1) и, сохраняя только члены первого порядка, получим

	¶u1ў	+ ¶v1ў = 0,
	¶x	¶y
¶u1ў	+ u0 ¶u1ў		= -		1		¶p1ў	,	(2)
¶t		¶x					¶x
¶v1ў	+ u0 ¶v1ў		= -		1	¶p1ў .
¶t		¶x					¶y

Дифференцируя второе уравнение по х, а третье по y и складывая их, находим

¶ ж

¶uў

¶vў

ц

+ u0

ж

¶uў

¶vў

ц

1

ж

¶2 p

ў

¶2 pў

ц

з

1

+

1

ч

з

1

+

1

ч

= -

з

1

+

1

ч .

(3)

¶x2

¶y2

¶t и ¶x

¶y ш

и ¶x

¶y ш

и

ш

В силу уравнения неразрывности оба слагаемых в левой части (3) равны нулю, поэтому

¶2 p	ў	+	¶2 p	ў	= 0 .	(4)
1			1
¶x2			¶y2

Ищем решение этого уравнения в виде p1ў = f (y)exp(ikx - i t) . Подставляя его в (3), получаем волновое уравнение

		d 2 f		- k 2 f = 0 .
		dy2
Отсюда f = A eky + A e-ky . При y				A1 = 0, тогда
1	2
	pў = A e-ky+ikx-i t .
	1		2

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ	209

Подставляя его в третье уравнение системы (2) и учитывая, что

v

ў = Bei(kx - t),

1

¶v1ў

= -i

vў,

¶t

1

¶v1ў

= ikvў,

¶x

1

¶p1ў = -kpў,

¶y

1

получаем

i (ku0 - )v1ў =

kp1ў

.

(5)

1

Выразим поперечную скорость

v1ў

через смещение линии раздела потоков

=

exp(i(kx–

t)), тогда

vў =

d

=

¶

+ u

0 ¶

= i ku

0

-

. Подставляя это

1

dt

¶t

¶x

(

)

выражение в (5), имеем

= -

kp1ў

. В нижнем слое все будет то же са-

1 (u0k -

)2

мое.

Поэтому

для

него

смещение получается

заменой

k –k,

kpў

pў ® pў ,

1

®

2

,

u0 = 0 , т. е.

=

2

. Приравнивая смещения и учитывая,

1

2

2

2

что на линии раздела pў

= pў

, получаем уравнение на собственные значения

1

2

1 (ku0 -

)2 = - 2

2 .

Решая

это

уравнение,

получаем

ku0

( 1 ± i

ku0

1 2 ) ,

=

или при равных плотностях

=

(1 ± i) . Отсюда

1 +

2

2

видно, что смещения будут нарастать по экспоненциальному закону:

»exp жз 1 ku0tцч .

и2 ш

Эта неустойчивость получила название неустойчивости Кельвина–Гельм- гольца.

210 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решение задачи 12.1

u

ж yv* цn

Пусть

= з

ч

. Из определения

и v* получим

v*

и

ш

2

=

0 ,

u

8

v*2 =

0.

=

8

ж v

*

ц

2

Отсюда следует, что

з

ч .

и

u

ш

Найдем u, используя расход через трубу Q:

R

ж v* цn

Rn+2

Q

Q = 2

т

rudr = 2 v* з

ч

и u =

.

(

n

+

)(

+ 2

)

R

2

0

и

ш

1 n

ж Rv

*

цn

ж Rv

*

ц

-2n

Отсюда

u

= Av* з

ч , или

= B з

ч .

и

ш

и

ш

Выразим Rv*

через Re = du

и получим

Rv*

= Re

.

4

2

Тогда = const Re-

2n

и для n =

= const Re-0,25 , т. е. закон

n+1

1/7 получим

Блазиуса.

Решение задачи 13.1.

Пусть

– расстояние между стержнями. Введем u1 = U

– u, такое, что u1

U . Уравнение движения будет иметь вид

u ¶u =

1

¶

.

(1)

¶x

¶y