Динамика вязкого газа, турбулентность и струи

7.2. Интеграл Крокко

71

Для течения газа с Pr = 1 температура теплоизолированной поверхности равна температуре торможения. Хорошее приближение для реальных газов дает модифицированный интеграл Крокко

	T Tw 1 r	1	M2	Tw u r	1	M2u2	,	(7.14)
		2			2

где r – коэффициент восстановления. Тогда температура теплоизолированной пластины в потоке реального газа будет

T

1 r

1

M2 .

(7.15)

w	2

Для ламинарного течения r = Pr (для турбулентного течения r = 3Pr ). Интеграл Крокко (7.12) и распределение скорости Блазиуса позволяют восстановить в физических переменных профили скорости и температуры в пограничном слое пластины для заданного числа Маха. Для этого сначала запишем распределение температуры в переменных Дородницына, подставив профиль Блазиуса u( ) в выражение (7.12). Мы получим распределение T( ).

Затем вычисляем интеграл, который следует из (7.3):

y = т Td .	(7.16)
0
Результаты вычисления дают связь переменных y и	, что позволяет вы-

разить скорость в зависимости от физической координаты y, а затем, опять используя (7.12), получить зависимость T(y).

T/T
20
16
12
8
0					y	u
0	8	16	24	32		x
		Рис. 7.1

72	7. СТАЦИОНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ

Сопротивление пластины для данного случая сводится к уже рассмотренному случаю плоской пластины в несжимаемом потоке:

C f = 1,328 / Re , Re = VҐl Ґ Ґ .

(7.17)

На рис. 7.1 и 7.2 приведено несколько профилей скорости и температуры для чисел M 10 и теплоизолированной поверхности при показателе степени n = 0,76. При возрастании числа Маха отчетливо видны спрямление профилей скорости, рост толщины пограничного слоя и сильный нагрев поверхности.

u/u
0,8
0		2	4	6	8	M = 10
0,6
0,4
0,2

0								u
						y
0		8	16	24	32
								x

Рис. 7.2

Задача 7.1

Вывести зависимость интегральных толщин пограничного слоя от числа Маха для теплоизолированной пластины. Считать, что число Прандтля Pr = 1,

а= Т.

Задача 7.2

Два сверхзвуковых потока с температурами торможения T0I, T0II и числом Маха MI, MII разделены тонкой пластиной. Оценить температуру пластины. Параметры торможения заданы, число Прандтля Pr = 1 и = Т. Дополнитель-

ное условие Re11 = u1 = u2 = Re12 .

1 2

Задача 7.3

Тонкая пластина с температурой Tw обтекается сверхзвуковым потоком с числом Маха М и температурой торможения Т0. Найти максимальную температуру в пограничном слое.

	8.1. Пространственный пограничный слой на скользящем крыле	73

8. ТРЕХМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ

В данном разделе мы рассмотрим два простейших случая течений в пограничном слое, когда составляющие скорости есть во всех трех направлениях. Расчет трехмерных течений сложен вследствие больших математических трудностей. Мы ограничимся простейшими случаями осесимметричных течений, допускающими сведение их к двумерной, уже решенной задаче. Трехмерный пограничный слой на скользящем крыле будет исследован

лишь качественно.

8.1.Пространственный пограничный слой на скользящем крыле

Пожалуй, самой простой задачей теории пространственного пограничного слоя является задача о стационарном пограничном слое на цилиндрическом теле бесконечного размаха. Выберем систему координат согласно

рис. 8.1 и пренебрежем ролью кривизны

поверхности. В этом случае

уравнения

U

V

движения

несжимаемого газа будут

y

иметь вид

v

¶u

¶u

dV

¶2u

W

u

+ v

= V

+

,

w

¶x

¶y

dx

¶y2

z

u

¶2w

u

¶w

+ v

¶w

=

,

x

¶x

¶y

¶y2

Рис. 8.1

74					8. ТРЕХМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
	u		v	0,		(8.1)
	x		y
при граничных условиях
u(0) = v(0) = w(0) = 0,			u( )		V , w( ) W .	(8.2)

Система (8.1) с граничными условиями (8.2) распадается на две. Первое и третье уравнения соответствуют уже решенной плоской задаче. Второе уравнение, после определения u и v, становится линейным уравнением относительно w и служит для его определения.

Наиболее прост случай косого обтекания плоской пластины. Здесь

u( ) = V		= const, w( ) = W = const.			(8.3)
Первое и второе уравнения системы (8.1) становятся тождественными по
записи, из чего с учетом граничных условий следует:
		w(x, y) = const u(x, y),			(8.4)
или
	w	= const =	WҐ	= tg ( Ґ ).	(8.5)
	u
			VҐ

Из (8.5) следует, что направление линий тока в пограничном слое совпадает с направлением внешних линий тока. В этом случае вторичные течения отсутствуют и наклон пластины не влияет на развитие пограничного слоя.

В случае косого обтекания симметричного цилиндрического тела должны выполняться граничные условия (8.2). Не претендуя на строгость, рассмотрим сугубо качественно поведение линий тока для такого течения. Решение для первого и третьего уравнений системы (8.1) уже было найдено. Профили продольной скорости будут изменяться от сильно наполненных в области разгона потока вблизи передней кромки до отрывного профиля с нулевой производной ¶u¶y на поверхности. За точкой отрыва возникает возвратное тече-

ние. Соответствующие профили нанесены на рис. 8.2.

Второе уравнение системы (8.1) не содержит градиент скорости внешнего течения. Можно ожидать, что профиль скорости в трансверсальном направлении будет наполненным. Предположим, что они не сильно отличаются от профиля скорости на пластине, и нанесем их на рис. 8.2.

8.1. Пространственный пограничный слой на скользящем крыле				75
> 0	= 0	< 0	= –12	Возвратное
				течение
а	б	в	г	д
		Рис. 18.
		Рис. 8.2

Сравним направление линий тока на внешней границе пограничного слоя и направление «предельной» линии тока на поверхности крыла. Так как на участке разгона потока (рис. 8.2, а) профиль скорости в продольном направлении более наполнен, чем в трансверсальном, можно ожидать, что «предельная» линия тока отклонится от внешней и корневой части крыла. В области нулевого градиента давления (рис. 8.2, б) обе линии тока будут иметь одинаковое направление. В области торможения (рис. 8.2, в) более наполнен будет трансверсальный профиль. «Предельная» линия тока начнет разворачиваться по направлению к внешней части крыла. В области отрывного профиля продольной скорости течение будет направлено вдоль крыла, к его консоли (рис. 8.2, г). В возвратном течении (рис. 8.2, д) «предельная» линия тока будет подтягиваться к линии отрыва. Положение линий тока на крыле показано на рис. 8.3.

Такое стекание пограничного слоя у поверхности вдоль крыла может приводить к утолщению пограничного слоя и преждевременному отрыву.

W	V	Предельная
		линия тока
	Внешняя
	линия тока	х

Рис. 8.3

76	8. ТРЕХМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ

Одним из способов предотвращения стекания пограничного слоя на стреловидных крыльях является установка продольных перегородок – «гребней».

8.2.Установившиеся осесимметричные пограничные слои

Другой из простейших примеров трехмерного пограничного слоя – пограничный слой на теле вращения, установленном под нулевым углом атаки (рис. 8.4). Такая задача легко преобразуется в соответствующую задачу для двумерного потока. Запишем уравнения пограничного слоя в криволинейных координатах:

ж

¶u

¶u ц

dP

¶

ж

¶u ц

зu

+ v

ч

= -

+

з

ч

,

¶x

dx

и

¶y ш

¶y и ¶y ш

¶

(r

u) +

¶

(r

v) = 0,

(8.6)

¶x

¶y

ж

¶h

¶h

ц

dP

1 ¶

ж

¶h

ц

ж

¶u ц

2

зu

¶x

+ v

ч

= u

+

з

ч

+

з

ч

,

и

¶y ш

dx Pr ¶y и ¶y ш

и ¶y ш

где r – радиальное расстояние.

V(x) y

x

V	r0(x)

Рис. 8.4

8.2. Установившиеся осесимметричные пограничные слои

77

Граничные условия остаются прежними. Потребуем, чтобы << k–1 и << (dk / dr)–1/2, где k – кривизна поверхности тела в меридиональном сечении.

Тогда радиальное расстояние r можно заменить на радиус поверхности тела r0(x) и уравнение неразрывности в системе (8.6) примет вид

	¶	(r0	u) +	¶	(r0 u) = 0.	(8.7)
	¶x			¶y

Дополнительное условие – (x) << r0(x). Введем функцию тока

r0	u =	¶	,	r0	v = -	¶	.	(8.8)
		¶y
						¶y

Преобразуем систему (8.6) к новым переменным с помощью преобразований Степанова–Манглера:

	x
x	= т r02dx ,	y	= r0 y .	(8.9)
	0

Поперечную скорость преобразуем согласно равенству

		v		1 dr
v	=		+				0	yu.
		r		r	2		dx
		0
				0

Остальные параметры потока оставим прежними:

		= v,		=			=		= h,		= .
u	= u, v				, P = P,			, h

Используя выражения (8.8) и (8.10), из (8.6) и (8.7) получим

ц

¶ ж

ц

ж ¶u

¶u

dP

¶u

зu

+ v

ч

= -

+

з

ч ,

и

¶x

¶y

ш

dx

¶y и ¶y

ш

¶

¶

(

u )

+

(

v ) = 0,

¶x

¶y

ж

ц

1

¶ ж

ц

ж

ц

2

¶h

¶h

dP

¶h

¶u

зu

+

ч

= u

+

з

ч +

з

ч .

и

¶x

¶y

ш

dx Pr ¶y

и

¶y

ш

и ¶y

ш

(8.10)

(8.11)

78 8. ТРЕХМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ

Мы получим тот же самый вид уравнений, что и для плоского случая. В каче-

( )

стве решения для данного V x можно использовать уже известное решение,

которое преобразованием Степанова–Манглера сводится к рассматриваемой осесимметричной задаче.

8.3.Пограничный слой на конусе

впродольном сверхзвуковом потоке

Будем предполагать, что круговой конус обтекается сверхзвуковым потоком, параллельным оси конуса и что при заданном числе Маха набегающего потока ударная волна присоединена к вершине конуса. За ударной волной течение газа будет потенциальным и коническим, давление на поверхности – постоянным. Так как продольный градиент давления равен нулю, задача о пограничном слое на конусе сводится к задаче о пограничном слое на пластине.

Используем преобразования Степанова–Манглера. Из равенства (8.9) получим

r			= ax ,			1			2		3	,		= axy ,	(8.12)
	(	)		x	=			a		x			y
0 x						3

где a = sin ( – полуугол раствора конуса). Пограничные слои на конусе и

на пластине автомодельные. Профили продольной скорости и температуры в автомодельных переменных задаются едиными распределениями как для конуса, так и для пластины. Масштабные множители, задающие связь координат конуса и пластины, определяются соотношением (8.12).

Примем одинаковыми значения продольных координат на конусе и пла-

стине x x . Это означает, что надо принять

=

x = a2x3 / 3 или ax =
	3.	(8.13)

Тогда нормальные к поверхности координаты будут связаны соотношением

				axy	3 y ,
		y
т. е. при одинаковых х	толщина пограничного слоя на пластине в 3 раз
больше, чем на конусе, и		3 .

8.4. Общий подход к проблеме пространственного пограничного слоя

79

Сравним между собой напряжение трения xy для конуса и для пластины:

ж

ц

xy =

¶u

xyr0 =

xyax.

w з

ч

=

(8.14)

и ¶y

ш y

=0

Тогда из (8.14) получим, что

xy.

xy

3

Аналогичным образом вычислим

* = * /

** = ** /

3,

3 .

(8.15)

Толщины пограничного слоя на конусе и пластине будут совпадать, если расстояние вдоль потока на пластине взять в три раза меньше, чем на конусе. В этом случае будут совпадать распределения продольных скоростей и профили температуры.

8.4.Общий подход к проблеме пространственного пограничного слоя

Для простоты рассмотрим пограничный слой на плоской пластине и его уравнения запишем в декартовой системе координат. Помимо координаты x вдоль обтекаемой поверхности и координаты y по нормали к ней введем

еще одну координату z вдоль поверхности. В этих координатах запишем уравнения пространственного несжимаемого пограничного слоя. Коэффициент вязкости также будем полагать постоянным.

ж

¶u

¶u ц

¶P

¶2u

зu

¶x

+ v

ч

= -

¶x

+

¶y2

,

и

¶y ш

ж

¶w

+ v

¶wц

= -

¶P

+

¶2w

,

(8.16)

зu

ч

¶y2

и

¶x

¶y ш

¶z

¶u

+ ¶v

+

¶w

= 0.

¶x

¶y

¶z

80 8. ТРЕХМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ

Два первых уравнения являются уравнениями движения вдоль координат на обтекаемой поверхности, а последнее уравнение есть уравнение неразрывности. Здесь давление также не зависит от координаты y .

Чтобы решить некоторую задачу с помощью этих уравнений в области (0 < x < x0, 0 < y < y0, 0 < z < z0 ) , необходимо поставить граничные условия.

Как и в двумерном случае, на поверхности обтекаемого тела ставятся условия прилипания, т.е. задаются равными нулю все компоненты скорости. На внешней границе пограничного слоя y = y0 задается распределение давления и две компоненты скорости u, w , параллельные поверхности тела. Чтобы выяснить, какие условия необходимо задавать на боковых границах, необходимо рассмотреть характеристические свойства уравнений.

Пусть Q(x, y, z) = 0 – характеристическая поверхность, тогда она должна удовлетворять следующему характеристическому уравнению:

ж ¶Q ц2 з ч и ¶y ш

0

¶Q ¶x

0

0

¶Q ¶y

	0
ж	¶Q ц	2	= 0 .	(8.17)
з	ч
и ¶y ш
	¶Q
	¶z

Если раскрыть определитель и приравнять его нулю, то получим одно уравнение для характеристической поверхности ¶¶Qy = 0 . Отсюда следует,

что любая поверхность Q(x, z) = const , ортогональная к обтекаемой, – это

характеристическая поверхность, и уравнение (8.16) является параболическим, как и в двумерном случае. Следовательно, как и в двумерном случае, возмущения из любой точки пограничного слоя распространяются вдоль координаты y с бесконечной скоростью. Однако теория характеристик не

дает информацию, как распространяются возмущения вдоль двух других координат.

Решение этой проблемы было предложено Вонгом в 1971 году. Он пренебрег вязкими членами в уравнении (8.16) и составил новое характ е-