Динамика вязкого газа, турбулентность и струи

ВВЕДЕНИЕ	11

ВВЕДЕНИЕ

Динамика вязкого газа является составной частью более общего курса – гидроаэродинамики. Предмет гидроаэродинамики – изучение движения жидкостей и газов. Динамика вязкого газа изучает особенности течения газов в тех случаях, когда существенную роль играют сжимаемость среды и диссипация энергии, вызванная наличием в газе внутреннего тре-

ния – вязкости.

Выводы теории динамики вязкого газа основываются на решении уравнений движения вязкого газа. Развитие численных методов, появление все более мощных суперЭВМ позволяют уже сейчас решать многие задачи. Однако для грамотного решения надо знать предмет, уметь интерпретировать результаты решения с физической точки зрения. Понять физику процесса, выделить главное в полученных результатах помогают приближенные методы решения, рассмотрение асимптотического поведения решений, сравнение с результатами эксперимента. В названном курсе основное внимание будет уделено именно приближенным методам решения и результатам, полученным на их основе, физической интерпретации и верификации теоретических решений опытными данными. Численные решения будут привлекаться для иллюстрации и уточнения приведенных результатов.

Изучение динамики вязкого газа будем вести в рамках механики сплошной среды, т.е. рассмотрим такие ее свойства, которые могут быть описаны непрерывными функциями координат. Предположим, что каждый элемент среды содержит много молекул, но мал по сравнению с размерами тела. Характеристики среды, обусловленные молекулярными свойствами (вязкость, удельная теплоемкость и т.д.), входящие в уравнения движения, будем считать параметрами или функциями, получаемыми экспериментально. Рассмотрим

12

ВВЕДЕНИЕ

ньютоновские жидкости, для которых существует линейная связь между тензорами напряжений и тензорами скоростей деформаций (закон Стокса). Для жидкостей, подобных воде, и для газов, подобных воздуху, расчеты на основе закона Стокса хорошо согласуются с экспериментальными данными. Кроме того, эти среды изотропны, т.е. их вязкость и другие молекулярные свойства в любой точке не зависят от направления, но неоднородны, т.е. их параметры могут зависеть от координаты точки, например, из-за разницы температур.

Основное внимание в курсе уделено эффектам, связанным с наличием у газов вязкости. Учет некоторых из вязких эффектов дает лишь небольшие поправки к результатам, полученным для идеальной жидкости, однако учет других – приводит к кардинальным расхождениям. Эти различия связаны с тем, изменяется или нет порядок дифференциальных уравнений, описывающих движение.

	1.1. Уравнения Навье–Стокса	13

1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат {xi } , где

i = 1, 2, 3. Такая запись удобна тем, что позволяет использовать тензорные обозначения и компактно записать громоздкие уравнения. Наряду с ней, там, где это проще, будем использовать традиционное обозначение в декартовой системе координат (x, y, z). Для того чтобы описать движение тела в

этой системе координат в общем случае, необходимо знать семь величин:

u, v, w – три компоненты скорости газа u ;

–плотность; p – давление;

T – температуру;

–динамическую вязкость.

Все эти величины являются функциями координат и времени t. Отметим, что все они относятся к данной точке пространства, а не к частицам газа, передвигающимся в пространстве. Для их определения необходимо составить семь уравнений, которые можно получить, используя:

–закон сохранения массы;

–закон сохранения импульса;

–первое начало термодинамики;

–уравнение состояния;

–эмпирический закон для зависимости вязкости от температуры.

1.1.Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности не связано с процессами диссипации энергии, вызванными вязкостью. Оно имеет чисто кинематическую природу и выражает закон сохранения массы.

14 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим некоторый достаточно малый объем пространства V0, ограниченный поверхностью S0, в котором можно предположить, что все характе-

ристики жидкости однородны. Через элемент поверхности ds, ограничиваю-
щий объем V0, протекает в единицу времени			газа. Вектор		по абсо-
	u	Чnds		nds

лютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по внешней нормали к ней. Полное количество газа, вытекающего в единицу времени из объема V0 через площадь, его ограничивающую,

m = т

u

Ч nds .

(1.1)

S0

В то же время масса газа в этом объеме есть

т

dV . Уменьшение коли-

V0

чества газа в объеме V0

можно представить в виде

m = -

¶

т

dV .

(1.2)

¶t

V

0

Приравняв выражения (1.1) и (1.2), получим

¶

т

u Ч nds = -

т

dV .

(1.3)

¶t

S

V

0

0

Преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объему по формуле

Гаусса–Остроградского и получим

¶

т

u

Ч nds = т

div (

u)dV = -

т

dV ,

(1.4)

¶t

S

V

V

0

0

0

или

ж

¶

ц

т

з

+ div (

u )ч dV

= 0.

(1.5)

V

и

¶t

ш

0

Так как соотношение (1.5) должно выполняться для любого объема с однородными параметрами внутри, подынтегральное выражение должно быть

равно нулю:
¶
		+ div (	u ) = 0.	(1.6)
	¶t

1.2. Уравнения Навье–Стокса								15
Это и есть уравнение неразрывности. В декартовой системе координат
оно будет выглядеть следующим образом:
¶		+	¶( u)	+	¶( v)	+	¶( w)	= 0.
	¶t		¶x		¶y		¶z

В тензорном представлении, где повторяющийся индекс подразумевает

суммирование, уравнение неразрывности будет иметь вид
¶	+	¶	( u j ) = 0,	(1.7)
¶t		¶x j

где j =1, 2, 3.

Выражение (1.7) равно нулю только в случае отсутствия в потоке источников или стоков.

1.2. Уравнения Навье–Стокса

Уравнение сохранения количества движения можно получить из второго закона Ньютона, примененного к элементарному объему газа. Предположим, что на элементарный объем действуют внешние объемные (массовые) силы Fi и поверхностные силы Pi . Тогда, согласно второму закону механики,

		dui	= F + P .		(1.8)
		dt	i i
	Полная, или субстанциональная, производная			d	определяет изменение
				dt

скорости передвигающейся в пространстве частицы газа. Это изменение складывается из двух частей: из изменения скорости в данной точке пространства за время dt и из разности скоростей в двух точках, расположенных на расстоянии, которое прошла рассматриваемая частица за этот период времени. Выражение для субстанциональной производной легко получить прямым дифференцированием

dtd = ¶¶t + ¶¶x ¶¶xt + ¶¶y ¶¶yt + ¶¶z ¶¶zt = ¶¶t + u ¶¶x + v ¶¶y + w ¶¶w = ¶¶t + ui ¶¶xi . (1.9)

16 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

	x			j	u i			Величина силы Рi, действующая
Направление								на элементарный	объем	жидкости,
переноса								складывается из	действия	скалярных
импульса
								сил давления р на поверхность и сил,
					ij		x i	связанных с вязкостью жидкости ij,
								которые действуют по касательной к
								поверхности. В особых случаях силы
					Рис. 1.1			вязкости могут действовать и по норма-
								ли к поверхности объема, например,
при схлопывании пузырька в вязкой жидкости. Совокупность сил Pi										определяет

напряженное состояние в потоке. Необходимо связать его с деформированным состоянием, т.е. надо выразить поверхностные силы через компоненты скорости (или их производные) и давление.

Под действием сил давления в газе осуществляется только обратимый перенос импульса, связанный с механическим перемещением различных объемов газа из одного места в другое. В случае вязкого газа появляется еще дополнительный перенос импульса из мест с большей скоростью в места с меньшей, вызванный наличием внутреннего трения (см. рис. 1.1). Из рисунка

	видно, что вязкие силы	ij	– это напряжения, действующие вдоль оси xi на
	площадку, нормальную к оси xj. Девять компонент					ij	образуют тензор вязких
	напряжений второго ранга. Полная сила			P , действующая на выделенный объ-
	ем газа V0 , равна
				+ т
		P	= - т p Ч nds		ij Ч nds .					(1.10)
			S0	S0
	Преобразуем выражение (1.10) в интеграл по объему:
		= - т grad ( p) dV + т				Ч dV .				(1.11)
	P				div ij
		V0		V0
	Тогда на объем V0 действует сила
						¶p		¶ ij
	P = -grad ( p) + div ij ,			или	Pi = -		+		.	(1.12)
						¶xi		¶x j
	Деформация элемента газа под действием сил						ij	определяется только

градиентами скорости ¶ui , так как при однородном по пространству движе-

¶x j

1.2. Уравнения Навье–Стокса

17

нии вязкое трение отсутствует, а производными более высоких порядков можно пренебречь. Это является одним из основных допущений при выводе урав-

нений Навье–Стокса. Выделим в тензоре ¶ui симметричную и антисиммет-

¶x j

ричную части:

¶u

1

й

¶u

¶u j щ

1

й

¶u

¶u j щ

1

1

i

=

к

i

+

ъ

+

к

i

-

ъ

=

eij +

rij ,

(1.13)

¶x j

2

к

¶x j

¶xi ъ

2

к

¶x j

¶xi ъ

2

2

л

ы

л

ы

здесь eij – тензор скоростей деформаций; rij – тензор, определяющий завихренность движения. Иллюстрация воздействий на элементарный кубический объем двух типов тензорных сил приведена на рис. 1.2, а, б на примере его двумерной проекции. Показаны силы и конечные изменения объема. Видно, что симметричная часть тензора (рис. 1.2, а, слева) вызывает деформацию объема (рис. 1.2, а, справа), а несимметричная часть тензора (рис. 1.2, б, справа) – вращение объема.

xj

ui

xj

ui

uj

xi

а

xi

б

-uj

Рис. 1.2

Будем считать, что в однородной среде вязкие напряжения вызываются деформациями. Связь между вязкими напряжениями и деформациями дает закон Стокса:

	ij	= 2 eij -	2	ekk ij ,	(1.14)
			3

где – не зависящий от скорости коэффициент динамической вязкости, а ij –

символ Кронекера.

ij = 0 при i j,

ij = 1 при i = j.

18	1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Выражение (1.14) – эмпирический закон, который требует экспериментальной проверки. В правую часть выражения (1.14) входят два члена, первый из которых определяет вязкие поверхностные силы трения, второй – силы внутреннего трения, возникающие при сжатии.

Тогда силы, вызванные вязкостью и действующие на элементарный объем газа, можно записать в виде

¶ ij	=	¶ ж		2 eij -	2	ekk	ц
			з				ij ч .	(1.15)
¶x j
		¶x j и			3		ш

Выражения (1.12) и (1.15) можно объединить, если ввести тензор напряжений

	м2		ь	ij .
	ij = 2 eij - н		ekk + pэ
		3
	о		ю

Тогда поверхностные силы можно представить в виде

P =	¶	ij	.
i	¶x j

Уравнение (1.8) теперь можно записать следующим образом:

(1.16)

(1.17)

¶u		¶u			м	¶	ij	ь
				1 п				п
i	+ u j	i	=		н			+ Fi э	,	(1.18)
						¶x j
¶t		¶x j			п			п
					о			ю

где i =1, 2, 3; j =1, 2, 3.

Дифференциальные уравнения (1.18) составляют основу всей аэрогидродинамики и называются уравнениями Навье–Стокса. Еще раз отметим, что уравнение (1.18) отражает баланс пяти сил: 1) инерционных; 2) сил давления; 3) массовых сил; 4) вязких сил трения; 5) вязких сил сжатия.

От массовых сил в некоторых случаях можно избавиться. Пусть на элемент газа действует только сила тяжести Fk = – g, совпадающая с направлением координаты xk. Представим эту силу тяжести в виде вектора Fi = - g ik .

Тогда силовые члены в уравнении (1.18), не связанные с вязкостью, можно преобразовать следующим образом:

1

м

¶p ь

1

м

¶p ь

1 ¶q

нFi -

э

=

н- g

ik -

э

= -

i ,

(1.19)

о

¶xi ю

о

¶xi ю

¶xi

1.3. Уравнение энергии

19

где qi = p + gxk ik – эффективное давление в жидкости. В таком представлении массовые силы выпадают из уравнений. Подобное упрощение полезно при рассмотрении движения однородной жидкости без свободных границ. Вместо действительного давления рассматривается разность давления при движении и при состоянии покоя (если есть свободные границы, то давление войдет в граничные условия и упрощения не будет).

В данном курсе мы не будем рассматривать примеры с наличием массовых сил. Тогда уравнение (1.18) упростится и будет иметь вид

¶u		¶u		1		¶ ij
i	+ u j	i	=				.	(1.20)
						¶x j
¶t		¶x j

1.2. Уравнение энергии

Уравнение энергии для сжимаемой среды выведем из первого начала термодинамики, соответствующего закону сохранения энергии в механике. В некотором объеме газа V0 выполняется баланс подводимого к нему тепла dQ, повышения его полной энергии dE и совершаемой им работы dA:

dQ = dE + dA .

(1.21)

В свою очередь полная энергия объема газа dE состоит из внутренней энергии CvdT и кинетической энергии dEk. Тогда

dQ = CvdT + dEk + dA.

(1.22)

В уравнении (1.22) Cv – удельная теплоемкость при постоянном объеме. Будем считать, что она не зависит от температуры. Тогда изменение тепла в объеме V0 за единицу времени должно подчиняться соотношению

C	dT	= -	dA	+	dQ	-	dEk	.	(1.23)
v	dt		dt		dt		dt

В объем газа тепло может подводиться за счет теплопроводности. Если гради-

ент температуры не слишком велик, можно разложить тепловой поток в еди-
	в ряд по степеням градиента температуры и ограничиться
ницу времени q
первым членом разложения (закон Фурье):
		(1.24)
	q = - gradT .

20 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Коэффициент называется коэффициентом теплопроводности, который в общем случае зависит от температуры и давления. Знак минус указывает на то, что направление теплового потока обратно направлению увеличения температуры. Изменение тепла в элементарном объеме зависит от подвода к нему теп-

ла, которое определяется интегралом
dQ = т
	grad (T )nds = т div ( grad (T ))dV .	(1.25)
S0	V0

Здесь знак сменен на плюс потому, что подвод тепла противоположен направ-

лению вектора n . Тогда подвод тепла к объему в единицу времени за счет теплопроводности дается соотношением

dQ	= div (k gradT ) =	¶	ж	¶T ц
			зk		ч .	(1.26)
dt		¶x j и		¶x j ш

Полная работа dA, совершаемая над объемом газа V0, образуется в результате действия касательных сил и сил давления (нормальных к поверхности сил). Поток энергии через поверхность объема, связанный с этими силами, определяется мощностью сил, а именно произведением поверхностных сил на скорость. Его компонентами будут величины j = ui ij. Общий поток энергии внутрь объема, производимый поверхностными силами, будет

т			т div		Ч dV ,	(1.27)
		Ч nds =
S0			V0

т.е. над объемом V0 в единицу времени поверхностные силы выполняют работу

dA	= -div = -	¶	(ui ij ).	(1.28)
dt		¶x j

Здесь учтено, что работа, совершаемая над газом, считается отрицательной, а совершаемая газом – положительной.

Изменение кинетической энергии в единицу времени можно записать как

dE

d ж

u

2

ц

¶u

¶u

k

=

з

i

ч

= u

i +

u u

j

i

.

(1.29)

i

i

¶x j

dt

dt и

2

ш

¶t

Члены справа в (1.29) можно выразить, используя уравнение Навье–Стокса (1.20),

¶u		¶u		¶ ij
i	+ u j	i	=		.
				¶x j
¶t		¶x j