Динамика вязкого газа, турбулентность и струи

1.3. Уравнение энергии

21

Умножив его на скорость ui, мы получим выражение для баланса мощности или изменения энергии во времени, так как уравнение (1.20) по определению есть уравнение баланса сил:

¶u

¶u

¶

ij

u

i

+

u u

i

= u

.

(1.30)

i

¶t

i

j

¶x j

i ¶x j

Тогда

dE

¶ ij

k

= u

.

(1.31)

dt

i ¶x j

Подставив выражения (1.26), (1.28) и (1.31) в уравнение (1.23), будем иметь

ж

¶T

¶T ц

¶

ж

¶T ц

¶

(ui ij ) - ui

¶ ij

Cv з

+ u j

ч

=

з

ч

+

¶t

¶x j

¶x j

и

¶x j ш

¶x j и

¶x j ш

= ¶ ж ¶x j зи

Окончательно

¶T ц

¶ ij

¶u

¶

ij

¶ ж ¶T ц

ч

+ u

+

ij

i

- u

=

з

ч

+

i

¶x j

¶x j

i

¶x j

¶x j ш

¶x j и

¶x j ш

ж	¶T		¶T ц			¶	ж	¶T ц
Cv з		+ u j		ч	=		з		ч	+	ijeij .
и	¶t		¶x j ш			¶x j и		¶x j ш

=

ijeij . (1.32)

(1.33)

Уравнение энергии (1.33) для идеального газа зачастую представляют в несколько измененном виде. Продифференцировав по времени уравнение со-

стояния идеального газа p/	=RT = (Cp – Cv)T, получим
	dT		p d					dT		dp
Cv		-				=	Cp		-		.
	dt				dt			dt		dt

Здесь предполагается, что теплоемкости не зависят от температуры. Принимая

во внимание

уравнение

неразрывности

(1.7),

из

которого

следует, что

¶u j

= -

¶

- u j

¶

= -

d

, можно показать справедливость соотношения

¶x j

¶t

¶x j

dt

dT

dT

dp

,

(1.34)

Cv

+ p ijekk =

Cp

-

dt

dt

dt

где ekk = ¶uk .

¶xk

22 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Учитывая (1.34), уравнение энергии (1.33) можно преобразовать к виду

ж

¶T

¶T ц

ж

¶p

¶p ц

¶

ж

¶T ц

ijeij .

(1.35)

C p з

+ u j

ч

= з

+ u j

ч

+

з

ч

+

и

¶t

¶x j ш

и

¶t

¶x j ш

¶x j и

¶x j ш

Таким образом, тепловой баланс объема жидкости описывается уравнениями (1.32) или (1.35). В них входят члены, которые определяют: изменение внутренней энергии (член слева); изменение тепла за счет теплопроводности (второй член справа); работу нормальных (первый член справа) и касательных напряжений (последний член справа).

1.4. Замыкание уравнений движения

Для замыкания системы уравнений движения газа используются соотношения, характеризующие термодинамическую природу изучаемой среды, называемые уравнениями состояния. В общем случае они задают связь между давлением, температурой и плотностью:

p = p ( ,T ) .

(1.36)

Для идеального газа уравнением состояния является уравнение Клапейрона:

p = R T ,

(1.37)

где R – газовая постоянная.

За седьмое замыкающее уравнение можно взять эмпирическую связь между коэффициентом вязкости и температурой

= (T ).

(1.38)

В качестве такой связи может быть степенная зависимость

	ж T		цn
	= з		ч	,	(1.39)
0 и T0			ш

1.5. Граничные и начальные условия

23

где показатель степени в зависимости от температуры газа может лежать в диапазоне 0,5 Ј n Ј1.

Показатель n = 0,5 соответствует взаимодействию молекул в виде твердых шаров, когда скорость обмена импульсом между молекулами зависит только от их скорости, которая пропорциональна корню из температуры газа и хорошо описывает вязкость при высокой температуре газа. Выражение (1.39) с n = 1 хорошо описывает поведение вязкости для T < 50 К, когда в процессе обмена импульсом участвует не только отталкивающая часть потенциала взаимодействия между молекулами, но и притягивающая часть. С понижением энергии (температуры) молекул растет эффективное сечение взаимодействия молекул. Для воздуха достаточно хорошей аппроксимацией в широком диапазоне температур будет связь (1.39) с n = 0,76. Часто связь коэффициента вязкости и температуры задают формулой Сатерленда

	ж	T ц		3/ 2 T		+ T
	= з		ч		0	S	,	(1.40)
0 и T0 ш					T + TS

где TS » 114 К .

Здесь 0 и T0 соответствуют некоторому начальному состоянию газа.

1.5. Граничные и начальные условия

Система уравнений (1.7), (1.18), (1.33), (1.36) и (1.38) имеет бесчислен-

ное множество частных решений, которые не всегда соответствуют реальному течению газа. Практический смысл имеет отыскание таких решений, которые соответствуют рассматриваемому течению. Для этой цели задаются граничные и начальные условия.

Уравнения движения газа содержат производные по времени, поэтому в общем случае необходимо задать начальное распределение всех входящих в задачу величин в момент времени t = 0 во всем объеме. Например, для скорости мы должны знать,

ui (x j , 0) = fi (x j ), j = 1, 2, 3.

(1.41)

24	1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Если твердое тело движется в газе и задано уравнение его поверхности как
F (x j , t) = 0 ,	(1.42)

то кинематическое условие, отражающее тот факт, что газ не пересекает эту поверхность, а скорость газа на поверхности тела совпадает со скоростью перемещения его поверхности, записывается в виде

dF	=	¶F	+ u j	¶F	= 0 .	(1.43)
dt		¶t		¶x j

Условие (1.43) для вязкого газа означает, что частицы жидкости, находящиеся в непосредственной близости от поверхности тела, к ней «прилипают». Поэтому можно потребовать, чтобы в системе, связанной с телом, на поверхности тела скорость газа была равна нулю.

Граничные условия для температуры допускают большее разнообразие, чем для скорости. На поверхности обтекаемого газом тела можно задать температуру (постоянную или переменную) или поток тепла через поверхность.

Вне тела задаются условия на бесконечности, которые отражают тот факт, что вдали от тела течение не возмущено и все параметры соответствуют невозмущенному течению.

1.6.Безразмерная запись уравнений движения

Примем, что течение газа характеризуется следующими масштабными величинами длины, скорости, температуры, плотности и вязкости: L*, V*, T*, *, *. Условимся отмечать в этом разделе штрихом соответствующие безраз-

мерные переменные:

t = tўL*/ V*, xi = xiўL*, ui = uiўV *, p = pў *V *2, T = T ўT*, = ў *, = ў *. (1.44)

1.6. Безразмерная запись уравнений движения

25

Подставив (1.44) в уравнения движения вязкого газа, мы получим безразмерную запись уравнений:

¶uiў		¶uiў		1 ¶pў			1	¶		ў
	+ uў		= -			+				ij	,
¶t ў	j ¶xў			ў ¶xў			Re ¶xў
		j			i					j

¶

ў

+

¶( ўuўj )

= 0,

¶t ў

¶xўj

ў

ж

¶T ў

+ uў

¶T ўц

=

ж ¶pў

+ uў

¶pў ц

+

1 ¶ ж

ў

¶T ўц

+

ў

eў . (1.45)

з

ч

з

ч

з

ч

¶t ў

j

¶t ў

j

Re

ij

ij

и

¶xўj ш

и

¶xўj ш

Pr Re ¶xўj и

¶xўj ш

Видно, что в систему уравнений (1.45) входит три безразмерных параметра:

Re =			V *L*		*	– число Рейнольдса;
	*
Pr =	C p *				– число Прандтля;
	*
Ec =			V *2		– температурный критерий, или критерий Эккерта.
		C pT *

Видно, что температурный критерий Ec является отношением кинетической энергии к внутренней энергии в потоке. Если учесть, что Ср = R /( – 1), то

	V *2	(	-1				V		*2
Ec =			)	=	(	-1				=	(	-1 M2 .
			*						*2
	RT					)		a				)

Положение температурного критерия в уравнении энергии (1.45) и его связь с числом Маха показывают, что теплота, возникающая вследствие трения и сжатия, будет существенной только в тех случаях, когда скорость течения станет сравнимой со скоростью звука.

Особую роль в задачах, представленных в учебнике, играет число Рейнольдса Re. Если числитель и знаменатель в соотношении для него умножить

	на V*, то Re =	*V *2		и оно физически отражает соотношение сил инерции и
		* V *
			L*

26	1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

вязкости. Фактически здесь мы будем рассматривать различные предельные случаи очень больших или очень малых чисел Рейнольдса.

Если числитель и знаменатель в выражении для числа Прандтля умножить на плотность, то

*

**

Pr =		=		.
	*		*
			h
	*C p

Здесь * – кинематическая вязкость газа, характеризующая скорость передачи импульса, а h* – коэффициент температуропроводности, характеризующий скорость передачи тепла. Таким образом, число Прандтля – это отношение скоростей передачи импульса и тепла. Для воздуха Pr = 0,72, а для жидких металлов и плазмы оно может быть много меньше единицы, так как импульс в них передается атомами или ионами, а тепло – гораздо более быстрыми электронами.

Из первого уравнения системы (1.45) можно сделать еще одно важное заключение. Одной из типичных задач аэрогидродинамики является задача обтекания покоящегося тела. Граничные условия для нее будут uiў = 0 на по-

верхности и u1ў = 1, u2ў = u3ў = 0 – на бесконечности. Для геометрически подобных границ скорости uiў являются функциями только uiў и Re. Из этого

следует, что решения для течений вдоль подобных границ будут идентичны по форме независимо от рода жидкости, если только числа Рейнольдса одинаковы. Подобие течений по числу Рейнольдса позволяет моделировать условия обтекания тела в малоразмерных установках, подбирая жидкость подходящей вязкости.

Задача 1.1

В безграничной несжимаемой вязкой жидкости без давления имеется сферическая полость радиуса r0. В некоторый момент времени слой, окружающий пустую сферическую полость, начинает двигаться к ее центру со скоростью u0. Найти зависимость скорости жидкости от расстояния до центра полости и условия схлопывания/несхлопывания полости. Вязкость жидкости – , плотность – ρ.

	1.6. Безразмерная запись уравнений движения	27

2. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ВЯЗКОГО ГАЗА

Уравнения динамики вязкого газа – нелинейные уравнения, общего метода решения которых не существует. Исключение составляют несколько простейших случаев движения вязкой несжимаемой жидкости, для которых можно пренебречь влиянием нелинейных членов и получить точные решения. К таким течениям относятся движения жидкости, в которых отличается от нуля только одна компонента скорости, зависящая от одной координа-

ты. Их называют слоистыми.

2.1. Обобщенное течение Куэтта

Пусть несжимаемая жидкость заключена между двумя параллельными плоскостями, одна из которых движется относительно другой с постоянной скоростью V на расстоянии h (рис. 2.1). За плоскость x–z примем неподвижную

плоскость, а ось x направим по направлению V . Рассмотрим течение, в котором отличается от нуля только одна компонента скорости – u. Выпишем уравнения движения для этого случая и поставим граничные условия:

u

¶u

= -

¶p

+

ж

¶

2

u

+

¶

2

u

ц

,

з

ч

¶x

¶x

¶x2

¶y

2

и

ш

¶¶py = 0, ¶¶pz = 0,

28 2. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ВЯЗКОГО ГАЗА

V

¶u

= 0,

(2.1)

¶x

1,0

y

2

u = 0 при y = 0; u = V при y = h.

(2.2)

1

Из уравнения неразрывности

[чет-

h

0,5

0

вертое уравнение в (2.1)] следует, что ско-

–1

рость u не зависит от координат х. Зависи-

P = –2

мость от координаты z можно убрать по-

0

0,5

1,0

u

воротом системы

координат в направле-

.

нии координаты

x. Следовательно,

ско-

Рис. 3

рость u зависит только от координаты y.

Рис. 2.1

Поэтому в первом уравнении первый член в скобках равен нулю. Из второго и третьего уравнений движения следует, что

¶¶py = 0 ; ¶¶pz = 0 , или p = p(x). Первое из уравнений движения дает следующую зависимость:

dp	=	d 2u
			.	(2.3)
dx		dy2

В уравнении (2.3) правая часть зависит только от y, левая – только от x. Это возможно лишь при условии, если левая и правая части являются постоянными величинами. Таким образом,

dpdx = const = pў,

и давление является линейной функцией координаты x. Для скорости из (2.3) получим следующее общее решение:

u =	pў	y	2	+ ay + b.	(2.4)
	2

Постоянные a и b определим из граничных условий (2.2):

	a =	V	-	pў	h, b = 0.	(2.5)
		h		2

2.1. Обобщенное течение Куэтта

29

Подставив (2.5) в (2.4), получим решение задачи:

	V		h2 dp y ж							y ц
u =		y -						з1	-		ч .
	h
			2 dx h и							h ш

Введем безразмерные градиент давления, скорость и координату:

dp

h2

u

y

p = -

,

u

=

,

y

=

,

dx

2 V

V

h

тогда

(

)

.

- y

u = y + py 1

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Течение с профилем скорости (2.6) получило название обобщенного течения Куэтта. Средняя по толщине слоя скорость жидкости u = Q / S , где Q – расход жидкости, S – поперечное сечение канала. Для рассматриваемого случая

			1 h		V			h2		dp
	u	=		т udy =		-					.
			h		2		12			dx
				0

Сила трения, действующая на неподвижную плоскость,

	xy =	du		y =0 =	V	-	h		dp	.
		dy			h		2 dx

(2.9)

(2.10)

Течение (2.6) состоит из суммы двух движений. Первое – это простое те-

чение Куэтта. Оно описывается первыми членами соотношений (2.6), (2.9),

(2.10) и получается при нулевом градиенте давления p = 0, представляя собой

чисто сдвиговое течение с линейным профилем скорости. Второе – это течение Пуазейля (вторые члены перечисленных выше соотношений). Оно описывает течение между неподвижными плоскостями под действием сил давления при V = 0. В этом случае получается параболический профиль скорости с мак-

симальным значением скорости посередине слоя.

>

Для общего случая течения (2.8) при p 0 давление падает при увели-

чении координаты x. Профиль скорости будет наполненным (рис. 3). Для

p 0 течение будет более сложным. Оно определится конкуренцией сил вяз-

<

кости, увлекающих жидкость в направлении движения плоскости, и сил дав-
ления, направленных в противоположную сторону. Для		появляется
	p < -1

возвратное течение.

30	2. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ВЯЗКОГО ГАЗА

2.2.Течение Куэтта между нагретыми плоскостями

Рассмотрим течение несжимаемой теплопроводной жидкости между двумя параллельными плоскостями, температура которых T0 и T1, скорости – 0 и V, расстояние между ними – h (рис. 2.2). Течение будем считать стационарным, физические характеристики жидкости – постоянными. Так как жидкость несжимаема, уравнения движения можно решать независимо от уравнения энергии. Их решение было получено выше:

u ( y) =	V	y.	(2.11)
	h

В уравнении энергии (1.33) все конвективные члены равны нулю. Останутся только члены, определяющие теплопроводность и выделение тепла за

счет трения.
	d 2T			ж du ц2
			= -	з		ч .	(2.12)
	dy2
				и dy ш
Граничные условия:
T = T0			при y = 0,				(2.13)

T = T1 при y = h.

		V
1,0
					Pr E c = 4
						2
0,5					0
0	0,5	1,0	0,5	1,0	T	T0
	u/V
					T1	T0

Рис. 2.2