Динамика вязкого газа, турбулентность и струи

12.5. Одно- и двухпараметрические модели турбулентности

131

Окончательно, принимая во внимание (12.25), для турбулентного касательного напряжения получим выражение

m =	2	ж du ц4
		з		ч
		и dy ш

ж	d	2	u	ц2
з				ч .	(12.28)
			2
и dy				ш

12.5.Одно- и двухпараметрические модели турбулентности

Валгебраических моделях характерные масштабы длины и скорости, входящие в выражение для турбулентной вязкости, определяются из градиентов средней скорости. Алгебраические модели турбулентности прошли долгую проверку на различных типах течений. Они оказались весьма приемлемыми для простейших типов течений, но плохо описывают течения с сильными градиентами средних параметров, так как в них изначально предполагается наличие равновесной со средним течением турбулентности.

Широкое распространение в настоящее время получили неалгебраические модели турбулентной вязкости, также основанные на гипотезе Буссинеска. В них масштабы скорости s и длины l, входящие в выражение для турбулентной вязкости, рассчитываются с помощью функций кинетической энергии

турбулентности k и скорости диссипации турбулентности . Коэффициент турбулентной вязкости t здесь определяется из соображений размерности, как

t = c k 2 . Здесь с 0,09 – эмпирический коэффициент. Сами же функции

находятся из дифференциальных уравнений баланса кинетической энергии и скорости диссипации в потоке и они связаны с параметрами среднего течения. Автоматически определяются необходимые масштабы, так как эти уравнения связаны с полем среднего течения.

Если масштаб длины находится из алгебраических моделей, а масштаб скорости – из уравнения для баланса кинетической энергии турбулентности, то это подход в рамках однопараметрических полуэмпирических моделей турбулентности. Если оба масштаба определяются уравнениями переноса, то это подход в рамках двухпараметрических моделей.

132 12. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

Для кинетической энергии турбулентности имеем k = 12 s2 , где s2 = uiўuiў .

Из общих соображений уравнение баланса кинетической энергии должно выглядеть следующим образом:

¶k	+V j	¶k	= Pk - + Dk .	(12.29)
¶t		¶x j

Здесь в левой части стоят члены переноса энергии турбулентности, а в правой

– член генерации энергии турбулентности Рk, член диссипации энергии турбулентности и член диффузии турбулентной энергии Dk. Генерация энергии Рk, очевидно, определяется произведением силы турбулентного трения (~ uiўuўj )

на среднюю скорость деформации eij . Для диффузии турбулентной энергии принимается модель «градиентной диффузии»

		¶	ж	t		¶k	ц
Dk	=		з				ч .	(12.30)
				Prt
		¶x j и				¶x j ш

Здесь Prt – турбулентное число Прандтля, примерно равное единице. В «стандартной» двухпараметрической модели силы турбулентной вязкости выражаются через среднюю скорость деформации с помощью градиентной гипотезы Буссинеска

2

k 2

2

ij = uiўuўj =

k

ij - 2c

eij =

k

ij - 2

t eij .

(12.31)

3

3

С учетом молекулярной диффузии кинетической энергии и выражения (12.30) уравнение баланса (12.29) можно записать:

¶k

¶k

¶V

жж

t

ц ¶k ц

+V j

= - ij

i + зз

+

ч

ч

- .

(12.32)

¶x j

¶t

¶xi

ии

Prt ш

¶xi ш

Диссипация энергии турбулентности происходит через молекулярную вязкость. Ее можно представить аналогичным образом, в виде произведения силы

трения за счет молекулярной вязкости	ж		¶uiў ц		и скорости деформации
	з			ч
	и		¶x j ш

12.5. Одно- и двухпараметрические модели турбулентности

133

	ж		¶uiў ц			ж ¶u ц2
флюктуационного движения	з			ч	. Тогда =	з	i	ч	. Уравнение баланса
	и		¶x j ш			и	¶x j ш

для скорости диссипации можно представить аналогично выражению (12.29):

¶	¶			- .	(12.33)
¶t	+Vi		= P + D
		¶x
		i

Здесь также в левой части стоят конвективные члены, а в правой – члены генерации, диффузии и диссипации (деструкции). Для диффузионного члена принимают градиентную гипотезу переноса диссипации

D =	¶	ж	t		¶ ц		,	(12.34)
		з				ч
	¶xi и Pr				¶xi ш

где Pr – турбулентное число Прандтля для скорости диссипации, примерно равное величине 1,3. Члены генерации диссипации и деструкции в уравнении (12.33) могут быть получены из размерных соображений.

P	c 1				ijeij ,
			k
			2		(12.35)
	c 2				,
			k

где с 1, с 2 – эмпирические константы. Из первого выражения (12.35) видно, что оно представляет собой произведение члена диссипации энергии на коэффициент, обратный характерному времени, а значит, он порядка скорости генерации диссипации. Второй член в (12.35) имеет размерность скорости диссипации, деленной на характерное время. С учетом молекулярной вязкости уравнение ба-

ланса функции

можно записать аналогично с выражением (12.29):

¶

¶

¶V

2

¶

жж

t

ц

¶ ц

+V

= -c

1

ij

i - c

2

+

зз

+

ч

ч

.

(12.36)

¶t

i

¶xi

k

¶x j

k ¶xi ии

Pr ш

¶xi ш

Здесь с 1 =1,46; с 2 = 1,83. Выражения (12.31), (12.32), (12.36) вместе с выраже-

нием для турбулентной вязкости образуют полную «стандартную» систему замыкающих уравнений двухпараметрической (k, )-модели турбулентности.

134	12. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

(k, )-модель турбулентности неплохо описывает сверхзвуковые течения в углах сжатия и течение за обратными углами, взаимодействие скачка с турбулентным пограничным слоем, но имеет и недостатки. Например, двухпараметрическая модель не в состоянии правильно описать кривизну линий тока, вращательные деформации и другие эффекты массовых сил.

12.6.Универсальные законы распределения скоростей

Рассмотрим на простом примере течения жидкости в канале применение полуэмпирических теорий Прандтля и Кармана. Пусть жидкость течет между плоскими стенками, ось канала совпадает с осью x, координата y изменяется от оси канала, ширина канала – 2h. Тогда u = u(y), и из уравнений движения имеем

	-	¶P	+	¶	= 0 .	(12.37)
		¶x		¶y

Градиент давления вдоль оси канала примем постоянным. Тогда из (12.37) следует

= 0 y/h,

(12.38)

где 0 – касательное напряжение на стенке. Из (12.28) и (12.38) получим равенство

2 du 4			d 2u	2	y
				0		.	(12.39)
	dy		dy2		h

Проинтегрируем (12.39) и, следуя Карману, определим постоянные интегри-

рования из условий u(0) = umax, du / dy = при y = 1. Последнее условие приближенно соответствует действительно очень большой величине наклона кри-

вой скорости вблизи стенки. Для u(y) будем иметь выражение

1

0

й

ж

y ц

y щ

u = umax +

кln з1

-

ч

+

ъ ,

(12.40)

к

и

h ш

h ъ

л

ы

12.6. Универсальные законы распределения скоростей

135

которое можно переписать в виде

umax

u

1

y

y

v*0

ln

1

h

h .

(12.41)

На рис. 12/2 штриховой линией показана зависимость (12.41). Отметим, что

распределение скорости имеет излом в середине канала. Это объясняется тем,

что здесь не выполняются условия подобия. Из (12.25) получается, что в сере-

дине канала длина пути смешения равна

umax

u

нулю, а это не соответствует

действи-

v*0

тельности. На стенках при y =

h уравне-

ние (12.41) дает бесконечно большую

2,4

скорость. В этом случае не выполняется

допущение об отсутствии

ламинарного

2,0

трения. Выше уже отмечалось, что у по-

1,6

верхности должен

существовать лами-

нарный подслой, который в данном рас-

1,2

смотрении был проигнорирован.

Рассмотрим пристенную область те-

0,8

чения. Выведем распределение

скорости,

0,4

аналогичное (12.41) из формулы Прандтля

(12.16). Для удобства вывода примем за y

0

0,8

0,6

0,4

0,2

y/h

расстояние от стенки. Будем считать, что

1

стенка гладкая, а длина пути смешения

Рис. 12.2

пропорциональна расстоянию от нее: l =

y

( – постоянная, которую определяем из опыта). Такая гипотеза, по крайней ме-

ре, дает турбулентное касательное напряжение на стенке, равное нулю и его

рост при удалении от стенки. Фактически это есть линейный член некоторого

неизвестного распределения. Из формулы Прандтля получим уравнение

l

2

ж du ц

2

2

y

2

ж du ц

2

=

з

ч

=

з

ч

.

(12.42)

и dy ш

и dy ш

Прандтль предположил, что =		0. Тогда, вспоминая выражение для динами-
ческой скорости v* (12.17), запишем (12.42) в виде
v	2	=	2	y	2	ж du ц			2
									.	(12.43)
						з ч
*0
						и dy ш

136			12. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Его решение
u	v*0	ln y const .	(12.44)

Константа определяется из условия смыкания распределения (12.44) с ламинарным распределением в подслое. Распределение (12.44) выведено для небольших расстояний от стенки. Применим, однако, его для середины канала.

	umax			v*0		ln	h		const .		(12.45)
Вычтем (12.45) из (12.44). Получим следующее выражение:
		umax u					1		h
`								ln		.	(12.46)
			v*0						y

Распределение (12.46) показано на рис. 36 сплошной линией. Полученное распределение сходно с универсальным законом, основанным на гипотезе Кармана.

Рассмотрим теперь течение у стенки. Предположим, что на некотором расстоянии от поверхности y = y0 уже можно принять u(y0) = 0. Тогда мы будем иметь

u	v*0	ln y ln y	.	(12.47)
	0

Расстояние y0 по своей величине одного порядка с толщиной ламинарного

подслоя. Из соображений о размерности y0 =									/ v*0 , где	– безразмерная по-
стоянная.
Тогда выражение (12.47) можно представить в виде
	u	1		ln	yv	*0		ln	.	(12.48)
	v*0
В выражение (12.48) входят две эмпирические константы										и . Причем первая

константа характеризует структуру турбулентности в самом течении, вторая – стенку. Экспериментальные исследования дают для значение = 0,4.

Введем следующие обозначения:

u		yv
	,	*0	.	(12.49)
v*0

РисРис. 12..337.

12.7. Турбулентное течение в трубах		137
Тогда (12.48) можно записать в виде
Aln	B ,	(12.50)
причем
A = 2,5, B = – 2,5 ln(		).

При выводе (12.50) мы пренебрегали ламинарным трением. Такое допущение справедливо только при очень больших числах Рейнольдса. При конечных, не очень больших числах Re необходимо учитывать ламинарное трение не только в ламинарном подслое, но и во всем течении. В этом случае опыт дает вместо логарифмического закона (12.50) степенной закон

C 1/ n ,

(12.51)

где показатель степени n изменяется от 6 до 10 в зависимости от величины числа Рейнольдса.

12.7. Турбулентное течение в трубах

Расчет течения в трубах особенно важен для практических приложений. Здесь мы будем рассматривать развитое турбулентное течение. Если жидкость втекает в трубу из некоторого достаточно большого резервуара, на начальном участке формируется входное течение. На входе в трубу распределение скорости практически равномерное, затем при увеличении расстояния от входа

	начинают формироваться подобия по-
	граничных слоев, которые смыкаются
	на некотором расстоянии от входа.		r	L
	При ламинарном течении длина вход-
	ного участка составляет (150…300)D,			х
	D – диаметр трубы, при турбулентном
	течении – (50…100) D.		Р1	Р2
	Рассмотрим	прямолинейную

трубу круглого поперечного сечения (рис. 12.3). Выделим в трубе цилиндр длиной L и радиусом y – расстояние от

138	12. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

центра трубы. Силы инерции в данном случае отсутствуют. Цилиндр находится в равновесии под действием касательных напряжений, действующих на боковые поверхности, и разности давлений, действующих на основания. Следовательно,

(P - P )r

= 1 2 . (12.52)

2L

Наибольшего значения касательное напряжение достигает на стенках трубы. Его можно измерить в эксперименте, зная перепад давления на длине L и ра-

диус трубы R:

(P - P ) R

0 = 1 2 . (12.53)

2L

Введем безразмерный коэффициент сопротивления , определяемый соотношением

(	P - P										2
									u
	1	2 ) =										.	(12.54)
	L				D 2
Из (12.53) и (12.54) следует
							2 .						(12.55)
	0	=				u
		8

Для коэффициента сопротивления Блазиус (H. Blasius, 1913) вывел эмпирическую формулу

					-1/ 4
	ж uD ц
= 0, 3164	з			ч	= 0, 3164 Re-1/ 4 .	(12.56)
	и			ш

Формула (12.56) получила название закона сопротивления Блазиуса, который применим для Re 105 (см. рис. 2.3, кривая 2).

Первые тщательные измерения профилей скорости в гладких трубах, которые проведены Никурадзе (J. Nikuradse, 1932), хорошо аппроксимируются зависимостью, аналогичной (12.51):

u	ж	y ц1/ n
	= з		ч .	(12.57)
V	и	Rш

Показатель n слабо зависит от числа Рейнольдса. По данным Никурадзе, для

Re = 4 103 n = 6,

12.8. Связь между законом сопротивления и распределением скоростей															139
					Re		105				n = 7,
					Re	3 106					n = 10.
Расход Q через гладкую трубу
				R							2 n2VR2			.	(12.58)
Q = т					2 rudr =
									(		n +1 2n +1
				0							)(		)
Средняя скорость
											2n2
	u			=	Q		=						.		(12.59)
V					2			(			)(	)
					R V
									n +1 2n			+1

Из (12.58) и (12.59) видна слабая зависимость расхода и средней скорости от величины n.

12.8.Связь между законом сопротивления

ираспределением скоростей

Между законом сопротивления Блазиуса и распределением скоростей (12.57) существует вполне понятная внутренняя связь, так как оба они получены на основе опытных данных. Из формул

(12.55) и (11.56) получим

7

1/ 4

2

1

0,3164 Re 1/ 4

2

u

.

(12.60)

0

u

u

const

8

8

R

Введем динамическую скорость

v

0

, тогда

*

ж

7

ц1/ 4

const з

u

ч = v*2

,

(12.61)

з

R

ч

и

ш

или

				v		R 1/7
u			const		*
							.	(12.62)
v*

140 12. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

n V , а из (12.57) получим, что V = u (R y)1/ n .

Из (12.59) следует, что u

Тогда

n V

n u

1/ n

v

R

1/7

u

y

const

*

.

(12.63)

v*

v*

v*

R

Окончательно получим следующее выражение:

u

const

v

*

R 1/7

y 1/ n

.

(12.64)

v*

n

R

Так как выражение (12.64) не должно зависеть от R, а в правой части должен стоять один линейный размер y, то R должно сокращаться. Такое возможно только при n = 7. Входящие в (12.64) константы легко вычисляются:

u	= 8, 74	ж yv* ц1/7
		з		ч .	(12.65)
v*
		и		ш

Следовательно, закон сопротивления Блазиуса привел нас к закону степени 1/7 для распределения скоростей, который справедлив для чисел Re 105 (рис. 12.4, кривая 4).

φ = y/ v*
30		Эксперимент		4
20				3
	5
10
1	2
00	1	2	3	4	lg η = lg(yv*	/v)
			Рис. 12.4