3. Основи алгебри логіки

3.1. Загальні положення

Для синтезу та аналізу цифрових інтгральних мікросхем та МП широко використовується апарат алгебри логіки (або Булевої алгебри), яка є одним із розділів математичної логіки. Булева алгебра – це алгебра для логічних обґрунтувань і міркувань, яку створив англійський математик Джордж Буль.

Основними поняттями алгебри логіки (АЛ) є висловлювання.

Висловлювання – це деяке речення, яке позначається особливими

символами і про яке можна стверджувати, що воно істинне, або воно помилкове (не істинне). Будь-яке висловлювання в алгебрі логіки формально позначається літерами латинського алфавіту ( найчастіше У) і розглядається не по змісту та значенню, а визначається значенням істинності. Значення істинності умовно позначається символами 1 та 0.

Наприклад, якщо стверджується, що висловлювання У істинне, то У = 1, а якщо висловлювання помилкове, то У = 0. На англійській мові: TRUE (правда) і У = 1 або FALSH (помилка) і У = 0.

В АЛ є поняття логічної змінної – це така величина Х, яка приймає теж тільки два значення 0 або 1. Також АЛ оперує поняттям логічної функції – це функція У, яка в своєму складі, як аргументи, має тульки логічні змінні, наприклад, У=f(Х1, Х2,....,Хn) і яка також, як і її аргументи приймає тільки два значення : 0 або 1. Логічну функцію називають ще функцією перемикання.

Логічна функція використовується для формалізованого запису складних висловлювань. Чим складніше висловлювання, тим складніша логічна функція, яка його описує. В алгебрі Буля сформульовані ряд законів та правил перетворення та спрощення логічних функцій, а також розроблені методи мінімізації логічних виразів.

Для технічної реалізації функцій перемикання використовують логічні елементи (ЛЕ), які зображують в вигляді прямокутників, в середині яких зображують символ функції, яка ними виконується. З лівої сторони прямокутника зображують вхідні сигнали, які тотожні логічним змінним Х1, Х2,...,Хn, а з правої сторони – вихід, який тотожний значенню функції. Логічні

елементи можуть мати n≥1 входів, та m≥1 виходів.

3.2. Опис та задання логічних функцій.

В алгебрі логіки будь-яка логічна функція може бути описана логічним виразом. Для створення виразів в алгебрі логіки визначено поняття: відношення еквівалентності, яке зображується знаком “ = “, та три операції: а) диз”юнкція – логічне додавання, зображується знаком ۷ або +; б) кон”юнкція - логічне множення, зображується символом ۸ або символом множення *, або, наприклад, У = Х1 Х2; та в) - заперечення (інверсії) – зображується рискою над змінною, наприклад, У = .

Логічний вираз є першим способом задання логічнох функції. Приклад

логічного виразу: У = Х1 ۷ Х2 Х3.

Якщо в логічний вираз входять операції диз’юнкції та кон’юнкції, то необхідно враховувати порядок виконання операцій: спочатку виконується операція кон’юнкції, а потім диз’юнкції. В складних логічних виразах для зміни цього порядку і задання іншого порядку виконання операцій використовують дужки, операції в яких мають пріоритет . В попердньому виразі виконується кон’юнкція Х2 Х3, а потім результат логічно додається з Х1. У наступному випадку: У = (Х1 + Х2) Х3, спочатку виконується логічне додавання змінних Х1 та Х2, а потім логічне множення на Х3.

Крім цього будь-яку логічну функцію можна задати також за допомогою таблиці істинності. Задати логічну функцію – це означає вказати значення функції перемакання (0 або 1) для всіх можливих комбінацій аргументів. Кожну окрему комбінацію називають переліком.