3.3. Основні логічні функції алгебри логіки
Л
огічні
функції одної змінної:
■ функція повторення логічної змінної, або функція тотожності: реалізується логічним елементом (ЛЕ) - повторювачем. Функція істинна, коли істинним є аргумент, та навпаки; У = Х; тобто,значення фунції на виході ЛЕ відповідає значенню аргументу на його вході;
■ функція інверсії (заперечення):приймає значення протилежні аргументу, реалізується ЛЕ – інвертором. Фукція істинна, коли не істинний аргумент.Записується як: НЕ, або NOT; логічний вираз функції У = .
Логічні функції 2-х змінних:
Х1 Х2 У
■ диз’юнкція – логічне додавання 0 0 0
( У=Х1ˇХ2); реалізується ЛЕ: АБО 1 0 1
(ИЛИ, OR); істинна, коли істинним є 0 1 1
один із аргументів або обидва відразу . 1 1 1
Х1 Х2 У
■ кон’юнкція – логічне множення 0 0 0
У = Х1^Х2); реалізується ЛЕ: ТА 1 0 0
(И, AND); істинна тільки тоді, коли 0 1 0
істинні всі її аргументи; 1 1 1
Логічні
елементи ТА
(И, AND)
та АБО (ИЛИ, OR)
мають властивості двоякості,
яка
полягає в тому, що один і той же логічний
елемент в залежності від логіки, яка
використовується (позитивна - по логічним
одиницям, чи негативна - по логічним
нулям) може виконувати різні логічні
функції. Наприклад, логічний елемент
И
може виконувати функцію кон’юнкції ТА
(И)
по одиницям або функцію диз’юнкції
АБО
(ИЛИ) по
логічним нулям.
В свою чергу логічний елемент ИЛИ
(АБО)
реалізує логічну функцію диз’юнкції
в позитивній ( по логічним одиницям)
логіці, то в іншому випадку - (при
використанні негативної логіки, тобто,
по нулям) він може використовуватись
як елемент И
(ТА)
і виконувати функцію кон”юнкції по
нулям. Останнє видно із їх таблиць
істинності.
Принцип двоякості ґрунтується на теоремах де Моргана:
Заперечення диз’юнкції еквівалентне кон'юнкції заперечень:
=
.
Заперечення кон’юнкції еквівалентне диз’юнкції заперечень:
=
.
Х1 Х2 У
■ функція Пірса (заперечення 0 0 1
диз”юнкції): У= НЕ(Х1 Х2); 1 0 0
істинна тоді, коли обидва аргументи 0 1 0
не істинні; реалізується ЛЕ: 1 1 0
АБО-НЕ, ИЛИ-НЕ, NOR, У = .
Х1 Х2 У
■ штрих Шиффера (заперечення 0 0 1
кон”юнкції): У=НЕ(Х1^Х2) 0 1 1
не істинна тільки тоді, коли істинні 1 0 1
обидва із її аргументів; 1 1 0
зображується ЛЕ: ТА-НЕ, И-НЕ, NAND, У= .
Всі розглянуті вище логічні функції можуть мати не два, а 3-ри, 4- ри і більше аргументів. Відповідно збільшується і таблиця істинності для цієї функції, так як зростає кількість переліків (комбінацій).
X1 X2 Y
- функція нерівнозначності: 0 0 0
У=
Х1
Х2
,
XOR
1 0 1
(заперечення рівнозначності) 0 1 1
істинна тоді, коли значення 1 1 0
істинності аргументів не співпадають.
Таку логічну схему ще називають схемою додавання за модулем 2 (mod 2),
тому що вона еквівалентна додаванню однорозрядних двійкових чисел без
перенесення в старший розряд або називають виключним АБО.
Розглянуті логічні функції використовуються при програмуванні мікропроцесорів на мові асемблеру. Наприклад, команда : XRL A, C – виконує порозрядну функцію нерівнозначності (виключальне АБО) над всіма бітами акумулятора А та регістру С (результат операції залишається в регістрі А).
Якщо в акумуляторі (А) мікропроцесора знаходиться число:
(А)=С3Н= 1 1 0 0 0 0 1 1 В, а в регістрі загального призначення С знаходиться: (С)=ААН= 1 0 1 0 1 0 1 0 В, то в результаті операції нерівнозначності число в A (А) =69Н = 0 1 1 0 1 0 0 1 В, a число в регістрі С залишається без зміни. Крайні праві розряди цих чисел відрізняються. В числі С3Н - в розряді знаходиться логічна 1, а в другому числі ААН навпаки - 0. Функція нерівнозначності для цих розрядів істинна і дорівнює 1( функція нерівнозначності істинна тоді, коли значення істинності аргументів не співпадають). Крайні ліві розряди чисел С3Н та ААН мають значення логічної 1 і тому функція нерівнозначності для них дорівнює 0. В прикаді символи Н та В означають числа в шістнадцятковій та двійковій системах числення.