Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

44

ПРЕДЕЛ.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

ФУНКЦИЙ

[ГЛ.

11

есть

нуль, то

теорема о

пределе дроби

не

может

быть

применена.

В этом

случае требуется

производить

специальные

рассмотрения.

Пр им ер

4.

Найти

_lim

(х

2

-4)/(х-2).

Здесь

анаменатель и числитель

при

х--+-

2

стремятся

к

Х 2 нулю

и,

следовательно,

теорема

3

неприменима.

Про­

изведем

следующее

тождественное

преобразование:

х	- 4
2
х-2

=

(х-2) (х+2) х-2

х+

2

•

Это	преобразование			справедливо при				всех значениях х,		mличных
Поэтому,	имея в		виду определение предела,					можем написать
	.		х - 4	=	li		(х-2) (х+2)
	1		2			m	-'----'--'-.,,.....:..-'lim-
			--						(х+2)=4.
	1m
	«-+	2	х-2		х-+2		х-2	Х-+ 2

от

2.

П р и м

ер

5. Найти

lim

х/(х- 1).

При

х--+- l

знаменатель

x •

I

стремится (числитель

стремится

к

к

нулю, а

числитель

к

нулю не

Следовательно,

предел

обратной

величины есть

нуль,

т.

е.

.

х-1

lim

(х-1)

0

~-1

0

1

х

lim х

·

« ~~

Т=

х-+ l

стремится единице).

Отсюда

на

основании ·теоремы

2

предыдущего

параграфа

lim	x/(x-l)=oo.
« •	1

будем

иметь

Теорем а трех функций

4. Если и= и (х),

между соответствующими	значениями
z = z (х), v= v (х) выполняются неравен­

ства и~ z ~

стремятся к

v, при одному

этом и (х) и

и тому же

v (х) при Х--+- а

пределу Ь, то z

(или при Х--+- оо)

= z (х) при Х--+- а

(или Д

при о к а

Х--+- з ат

оо) е л

ь

стремится с т в о. Для

к

тому же пределу. определенности будем

рассматри­

вать изменение функций при х--+- а. Из

следуют неравенства u-b~z-b~v-b;

неравенств по условию

и ~ lim

z ~ v и=Ь,

lim х а

v

=

Ь.	Следовательно,

при

любом

8

>

О

найдется

Х й некоторая

окрестность неравенство

с I

центром и-Ь 1 < 8;

в точке

так же

а, в которой будет	выполняться
найдется некоторая	окрестность

с центром		в	точке а, в	которой будет выполняться неравенство
1v-b 1 < 8.		В	меньшей	из указанных	окрестностей будут			выпол­
няться	неравенства -- 8			< и-Ь < 8 и	- 8	< v-b < 8,	а следова­
тельно,	будут выполняться неравенства					- 8 < z-b	< 8,	т. е.

lim z=b.

х а Теорема

5.

Если

при

х--+-а

(или

при

х--+-оо)

функция

у

принимает неотрицательные значения у~ О и при этом стре­
мится к пределу Ь, то	Ь	есть неотрицательное число: Ь ~О.
Доказательство.		Предположим, что Ь<О, тогда \y-bl~

~1

Ь

/,

т.

е.

модуль

разности

I

у-Ь

\

больше

положительного

числа

I

Ь

I

и,

следовательно,

не

стремится

к

нулю

при

Х--+-

а.

48

ПРЕДЕЛ.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

ФУНIЩИЙ

[ГЛ.

11

Произведя

очевидные

алгебраические

преобразования,

получим

(1+2 п

-

	1
)"=1+1+- (1
	l,2
•.. +1	21
	.•. .. -п

-2	1	(1-.!.)(1	-!)+ ...
	-)+-
п	1,2,3	п	п
(1-.!.) (1-!) .. • (1•_n-l).				(2)
	п	п	п

(

	Из последнего равенства следует,
1	+ ~)"- возрастающая переменная

что переменная величина
величина	при возрастаю­

щем п.
Действительно,			при	переходе	от	значения п к	значению
каждое	слагаемое		последней суммы			возрастает:
	l\	(1-		~) < l\	(1-	п~l) и т.	д.

п

+

1

и

добавляется

еще один

член.

(Все

члены

разложения-поло­

жительные.) Покажем,

что

переменная

величина

(

1

+

~

)"

ограничена.

Замечая,

что

(

1-

~)

<

1;

(

1-

~)

(

1-

;-)

<

1

и

т.

д.,

из

вы­

ражения

(2)

получим

неравенство

(1+

~)"<

1	1
+	+1\+1.;.3+ ...

+1,2./

...

,п·

Замечая,

далее,	что
1	1
1,2.3<22		•

_l_<_!_
1.2.3.4	23

'

...

,

1.2

1

.....

1 п<2п-1•

:можем

написать

неравенство

	l	)"	1	1
(	l+п		<1+1+2+22+	... +F-Т•

Подчеркнутые члены правой	части этого неравенства
геометрическую прогрессию	со знаменателем q = 1/2

образуют и первым

членом ( 1+ ¾)

а =

п<

1, поэтому

1+ [1+ ;

+

;2 =

+ ··+•

2}-1]

=

1+	1-(-!-)"	= 1+
	1
	2
	1-2

[

2,-

(

;

y-i]

<

3.

Следовательно,

для

всех

п

получаем

§7)				число,
Из	равенства	(2)	следует,	что
				(1+	~у~2.

49

Таким

образом,

получаем неравенства

2~ (1+ ~у <3.

(3)

Этим установлено, что

Итак, переменная

переменная величина (

величина 1+ ~ У-

( 1+ ~)п ограничена.

возрастающая и огра­

ниченная, поэтому на	основании	теоремы
Этот предел обозначается буквой		е.
Определение.	Предел переменной

7 § 5 она имеет предел.

величины (1+ ~)n при

п

-+ оо

называется

*)

числом

е:

е= lim	(
n• cc

1

+

..!..) n

n.

и

Из неравенства (3) на основании
число е	удовлетворяет неравенству
Число	е-иррациональное число.

теоремы	6 § 5	следует, что
2 ~ е ~ 3. Теорема доказана.
Позднее	будет	указан метод

его вычисления сятью верными

с любой знаками

степенью точности. после запятой:

Его

значение

с

де­

е

=

2,

7182818284...

Теорема 2. Функция ( 1+	~ )х
конечности, стремится к пределу	е:

при

х,

стремящемся

к

бес­

lim		( 1+ .!.)х= е.
Х	ОО		Х
Доказ ательс тв о.	Было		установлено,

что

( 1+

~

)n

-+

е

при п-+ оо,

Пусть теперь

если п принимает целые положительные

х стремится к бесконечности, принимая

значения. как дроб­

ные,	так и отрицательные значения.
1)	Пусть х-++ оо.	Каждое его	значение
двумя, положительными		целыми числами: п ~ х

заключено между

< п + 1. При этом

*) Можно показать,	что ( 1+ ~ )п-+е при	n -++ 00	1	если
монотонно возрастающей	переменной величиной.

п

не

является