Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

ЧИСЛО.

ПЕРЕМЕЦНАЯ,

Ф}'НIЩИЯ

(ГЛ.

I

Л о r а рифм и чес к а
Эrа функция	определена
рис. 14.

я

фу при

н к ц х >

и О.

я, у= tog11 х, График ее

а > О и q * изображен

1. на

Тригонометрические менная х в формулах y=sinx

функции. Независимая пере. и т. д. выражается в радиа11ах.

ю-

1/"'31

Все	перечисленные
ции-периодические.

тригонометрические функСформулируем общее оп­

ределение периодической функции.
О п р ед е л е н и е 1. Функция	у=

f

(х)

на­

------	•	$
Рис .	12.

зывается	периодической,					если существует			такое
постоянное число		С,	от			прибавления		(или вы­
читания)	которого		к		аргументу		х	значение
функции	не изменяется:					f(x+C)	= f (х).		Наи­
меньшее	такое	число				называется		периодом
функции; в дальнейшем				будем обозначать					его 2{.

Из определения непосредственно	следует,
периодическая функция с периодом 2зt:		sinx=
cos х также равен 2n. Период функций		у= tg х

что у= sinx	есть
sin (x+2n). Период
и у= ctg х равен n.

Рис.

13.

Рис.

14.

Функции		у= sin х,	у== cos х определены при			всех значениях
функции	у= tgx и y=secx определены				всюду,	кроме	точек
		x=(2k+	1) ~	(k=O, +1,	±2, ...);

х;

функции	у= ctg х и	у= cosec х определены		при	всех
кроме точек			(k=O, ±1, ±2,	.. .).
	x=k1t

значениях

х,

Графики тригонометрических функций изображены

Обратные тригонометрические функции будут

на рис. 15-19.

нами подробно

рассмотрены позднее.

Введем, далее, понят.ие

функции

от

функции.

Если

у

является

функцией у также

от и, а зависит

и	в	свою очередь зависит
от		х. Пусть	y=F (и)	и

от переменной х, то
и=q,(х).	Получаем

§

81

ОСНОВНЫЕ

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ

ФУНКЦИИ

25

функцию	у от	х:
Последняя		функция
сложной	функцией.
	V

Рис.

15.

y=F[q>(x)].
называется функцией от		функции или
		U=CDSt/f
t/1	- ~•tll
	+Рис. 16.

Р.

p=tg.i-

1 1

Рис.

17.

Рис.

18.

ной

Пр им ер функцией

1.

х.

Пусть

y=sin

и,

и=х

2

,

Функция

y=sin

(х

2

)

является

слож­

	3	а меч ан
является или
та	ее	часть, в

и е.	Областью	определения		функции	у= F [ q> (х)]
вся	область определения		функции и= q> (х),			или
которой опреде­

ляются		значения
щие	из		области
функции			F (и).

и, не выходя­ определения

Пр им			ер 2.		Областью			опреде­
ления	функции				у= V 1- х			2	(у=
= vи,		и=		1-х	>	является		отрезок
				2				I х 1 > 1
[-1,	1],	так		как	и< О при
и, СJI~довательно,					функция		Уи		не
определена			при этих			значениях х			(хо­
тя функция			и= l-x определена						при
						2
всех	значениях				х).	Графикем			этой
функции		является			верхняя		половина
окружности				с центром в начале					ко­
ординат		и радиусом				единица.

Рис.

19.

а

Операция «функция от функции» может	производиться	не

любое

число

раз.

Например,

функция

y=lg[sin(x

2

+l)]

один, полу­

чается

в

результате

следующих

операций

(определения

следую­

щих

функций):

v=x'+1,

и=sinv,

y=lgu.

28

ЧИСЛО.ПЕРЕМЕННАЯ.ФУН~ция

1rл.1

§

1О.

Полярная

система

координат

Положение

точ!{и

на

плоскости

можно

определить

с

помощью

так

называемой полярной системы координат. На плоскости выбираем некоторую точку

О,

называемую

по­

люсом,

и

выходящую

из

этой

точки

полупрямую,

называемую

полярной

осью.

Положение

точки

М

на

плоскости

можно

опре­

делить

двумя

числами:

числом

р,

выражающим

расстояние

точки

М

от полюса,		и числом	q>-величиной угла,	образованного		отрез­
ком	ОМ с	полярной	осью. Положительным	направлением		отсчета
угла	q> считается направление против часовой стрелки.				Числа р

и

q>

называются

полярны.ми

координатами /1

точки

М

(рис.

23).

Dл:_~ Рис. 23.

.z'';РСОВ~ Рис. 24.

Радиус-вектор полярный угол q>

р будем

брать в

всегда считать

пределах О ~ q>

неотрицательным. < 2n, то каждой

Если точке

плоскости,

кроме

полюса,

соответствует

вполне

определенная

пара

чисел р	и q>.	Для полюса р = О, q> -	произвольное.
Установим		связь между полярными и прямоугольными декар­
товыми	координатами. Пусть начало		прямоугольной	системы ко­

ординат совпадает с полюсом,	а	положительное направление
Ох - с полярной осью. Из рис.		24 непосредственно следует:

оси

х

=

р

cos

q>,

у=

р

sin

q>

и,

обратно,

p=V

х2

+у",

tgq>=y1x.

П р и четверти

м е ч а ни е. находится

При нахождении q, нужно учитывать, в какой -точка, и брать соответствующее значение q,.

Уравнение

р

=

F

(q>)

в

полярной

системе

координат

определяет

некоторую

линию.

Пр

им ер

1.

Уравнение

р=а,

где

a=const,

определяет

вnoляpHЫJli

координатах	окружность с центром в
окружности	(рис. 25) в прямоугольной

nолюсе системе

и радиусом координат,

а. Уравнение расположенной

этой так,

как

указано П р и м е

на р

рис.	24,
2. р	= аер,

будет где

2	+у2=а или х		2
ух
а= const.		Составим

+у2=а	2
таблицу

.

значений

р

nри

некоторых значениях					ер:
ерIО	\	n/4	\	n/2
рiО	\	:=::О,78а1		;:::1,57а

1 Зn/4

\ ;,:::2,36а

1	1t	1 Зn/2
I i:::::3,14a		Ii:::::4,7la

1 I

2n

i:::::6,28a

1 Зn

\i:::::9,42a

4n

i:::::12,56a

3()

число.ПЕРЕМЕННАЯ.ФУНКЦИЯ

1rл.

1

34.	в=lxJ.	35.	u=log. fxJ.		38.	y=Iog.(1-x).	37.
38.	y=4cos ( х+; ).
	39. Построить		график	функции		/ (х), определенной

с:.педующим

образом:

f (x)=l+x /(x)=l-2x

при при

-l<x<O; О<;х < 1.

y=Зtla {ь+;)·

на трезке (-11 1)

40. Построить	график	функции [/		(х), определенной
епедующи:м обр·азом:				O<x<IJ
	/(х)=х'		при
	f	(x)=JC	при	1<х<2.

на

отрезке

[О;

2)

Построить	кривъtе, данные полярными
41. р=а}ср	(атерболuЧJJская спираль).

раль). 45. р=

43. p=aYcos2cp

а sln Зср.

(Ае.Мнuската).

уравнениями~
42.	р=аФ (лoгapuфмulU!CIUlR спи­
44.	p=a(l-coscp)	(кардиоида).