Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

32

ПРЕДЕЛ

НЕПРЕРЫВJiОСТЬ

ФУНlЩИА

(ГЛ.

11

Докажем,

что

эта

nеременная величина имеет nредел, lхп-11=1(1+~)-1/=~.

равный

единице.

Имеем

Для где

любого 1/п < 8,

8 все

или п

nоследующие
> 1/8,	будут

значения	переменной, начиная с номера		п,
удовлетворять		неравенству lхп-11 < 8,	что

и

требовалось

доказать,

Заметим,

что

здесь

nеременная

величина

стремится

к

пределу, П р и м

убывая.
е р	2. Переменная

величина

х

последовательно

принимает

значения

Х1=1-

1 2

,

Х2=1+

1 22

;

Хз=l-

1 23

,

х,=1+

1
2	,,

,

..

,

Хп=l+(-1)

11

1
2	п,

Эта	nеременная		имеет предел, равный единице.				Действительно,
			1Хп-1.1 = 1(1		+(-l)nJ2n)- l l= 1J2n.
Д11я	любого	8,	начиная с	номера	п, удовлетворяющего соотношению
нз которого		следует		пJg 2 > lg (1/8),		или	п > lg)~, ),
			2п > 1/8,
							8

l/2n

<

8,

все

nоследующие

значения

х

будут

удовлетворять

соотношению

I

Хп-1

1<

8.

Оrметим,

что

здесь

значения

переменной

величины

то

больше,

то

меньше

nредела.

Переменная

величина

стремится

к

пределу,

«колеблясь

вокруг

него».

3

а

меч

ан

и

е

1.

Как

указывалось

в

§

3,

гл.

J,

постоянную

величину

с

часто

рассматривают

как

переменную

величину,

все

значения

которой

одинаковы:

х

=

с.

Очевидно,

что

предел

постоянной

будет

равен

самой

постоян­

ной,		так	как	всегда	выполняется		неравенство
=0	< е		при	любом	е.
3		а меч ан и е 2.			Из	определения		предела

Iх- с\= 1с -

следует, что

с1= пере­

менная	величина		не	может
-нr		''1.:))IS•
.,	1
8		2,

иметь

двух

пределов.

Действительно,

S<'!J./

если

~~- limx=a

и

limx=b

(а<Ь),

то

х

Р~.- должен

удовлетворять

сразу

двум

неравенствам

при

произвольно

lx-al малом в,

<е и

а это

lx-bl <в невозможно,

если

е

<

(Ь-а)/2

(рис. З

29). а меч

ан и

е

3.

Не

следует

думать,

что

каждая

переменная

величина

имеет

предел.

Пусть

переменная

величина

х

последова­

тельно

принимает

следующие

значения:

X;t=

1 2

,

Ха=

1 1-·:р

1 Хв=s•

•

•

•t

Хм=

1-

1 22.t•

1 X211+t=~

§4)

БЕСI<ОНЕЧНО

МАЛЫЕ

И ИХ

ОСНОВНЫЕ

СВОЙСТВА

39

Теорем

а

2.

Если

lim

f

(х)

=

b=f=O,

то

функция

у=

1/f

(х)

х-+а

при х -

есть ограниченная функция

а.

До к аз ат ель ст в о.

Из

условия

теоремы

произвольном

8 > О

в

некоторой

окрестности

точки

х=а будем

иметь

lf (x)-bl

< 8,

или

llf(x)I-IЬ11<8,

или

-

<

1-

1Ь1 < 8,

8

1f (х)

или

\Ь\-8

< lf

(х)

1<

<1Ь1+8.

нера-

Из

пос..ледних

следует,

что

при

венств

следует

1 Jb/-e

>

lf

1 (x)I

>

>

1 /Ьl+в

Рис.

38.

взяв,

например,

8

=

1 10

1Ь

\,

получаем

А

это

и

значит,

		10	1		10
	9	1Ь1> lf (х) 1 > -ТГТЪТ '
что	функция		1/f	(х)	ограничена.

§

4.

Бесконечно

малые

и

их

основные

свойства

В

этом

параграфе

будем

рассматривать

функции,

стремящиеся

к

нулю

при

некотором

характере

изменения

,аргумента.

О п р еде л е н и е.

.малой при х-а или

Функция а = а (х)

при х-+ оо, если lim

называется	бесконечно
et (х)=О или lima (х)=О.

Из

определения

предеJJа

следует,

x

что

-J,,a если,

х--+rл например, lim

et

(х)=О,

то

это

значит,

что

для-любого

наперед

заданного

х-+а произвольно

малого

положительного8 найдется 6>0 такое, что для всех х, удовлетворяю­

щих условию I х-а 1< 6, будет удовлетворяться условиеIа (х) \ < 8,

Пример	1.	Функция
так как lim а=		lim	(х-1)	2
х-+1	x • l
Пр им ер	2.	Функция
(рис. 40) (см.	пример		З § 2),

а=(х-1)		2	есть бесконечно малая		nри
=0 (рис.	39).
а= 1/х		есть		бесконечно малая	nри

х->-1	1
х-+ оо

Установим	важное для	дальнейшего	соотношение:
Теорема	1. Если функция y=f		(х) представляется
суммы постоянного числа		Ь и бесконечно малой а:

в

виде

у=Ь+а:,

(1)