- •Тема 1. Предмет и задачи статистики
- •Контрольные вопросы по теме 1.
- •Тема 2. Статистические наблюдения
- •Контрольные вопросы по теме 2.
- •Тема 3. Группировка и сводка данных наблюдения
- •Контрольные вопросы по теме 6.
- •Контрольные вопросы по теме 11.
- •Контрольные вопросы по теме 13.
- •Тема 14. Статистическая проверка гипотез
- •Контрольные вопросы по теме 14. Введение
- •Контрольные вопросы по теме 1.
- •1.1. Роль и значение статистики в обществе. Основные этапы развития статистической науки. Связь дисциплины «Статистика" с другими дисциплинами
- •1.2. Предмет статистики
- •1.3. Общие понятия о статистической методологии (о методе статистики)
- •1.4. Система учёта и статистики, задачи статистики
- •1.5. Организация статистики в Республике Беларусь
- •1.6. Отчетность предприятий и ее виды
- •1.7. Специальные статистические наблюдения и их виды
- •Контрольные вопросы по теме 1
- •Тема 2. Статистические наблюдения
- •Контрольные вопросы по теме 2.
- •2.1. Сущность статистического наблюдения и его задачи
- •2.2. Формы организации статистического наблюдения
- •2.3. Виды статистического наблюдения
- •2.4. Программа статического наблюдения
- •2.5. Способы учета фактов в статистических наблюдениях
- •2.6. Ошибки статистического наблюдения. Меры по обеспечению надежности статистической информации
- •2.7. Пути совершенствования статистического наблюдения
- •Контрольные вопросы по теме 2
- •Тема 3. Группировка и сводка данных наблюдения
- •3.1. Сущность классификации и группировки, их задачи
- •3.2. Виды группировок и их назначение
- •3.3. Понятие, виды и принципы выбора группировочных признаков
- •3.4. Образование групп и определение интервалов группировок. Система статистических показателей
- •3.5. Содержание и значение сводки
- •3.6. Программа статистической сводки и ее основных элементов
- •3.7. Организация и техника сводки. Территориальный и отраслевой разряды сводки статистических материалов
- •3.8. Принципы современной организации обработки статистических данных
- •Контрольные вопросы по теме 3
- •Тема 4. Анализ статических данных и проблема измерения связи
- •4.1. Сущность и основные принципы анализа статической информации
- •4.2. Содержание основных этапов анализа статических данных
- •4.3. Содержание и виды статических расчётов
- •4.4 Основные приёмы (методы) анализа статических данных
- •4.5. Задачи измерения связи в статистике. Основные виды связей между явлениями (признаками)
- •Контрольные вопросы по теме 4
- •Тема 5. Статистические таблицы
- •5.1. Общие понятия о статистических таблицах
- •5.2. Виды статистических таблиц
- •5.3. Основные правила составления и анализа статистических таблиц
- •Контрольные вопросы по теме 5
- •Тема 6. Ряды распределения
- •Контрольные вопросы по теме 6.
- •6.1. Понятие и виды статистических рядов
- •6.2. Графический метод изучения рядов распределения
- •6.3. Понятие о закономерностях статического распределения. Теоретические кривые распределения
- •6.4. Свойства основных кривых распределения
- •Контрольные вопросы по теме 6
- •Тема 7. Абсолютные и относительные величины
- •7.1. Значение и виды статистических показателей. Проблема совершенствования системы статистических показателей
- •7.2. Абсолютные статистические величины
- •7.3. Относительные величины
- •7.4. Отношения между разноимёнными показателями
- •Контрольные вопросы по теме 7
- •Тема 8. Средние величины и показатели вариации
- •8.1. Сущность и значение средних величин в статистике
- •8.2. Виды средних
- •8.3. Средняя арифметическая, ее свойства и техника исчисления
- •8.4. Средняя гармоническая
- •8.5. Структурные средние величины (мода и медиана)
- •8.6. Показатели вариации
- •8.7. Техника исчисления простых показателей вариации
- •8.8. Основные показатели вариации. Свойства дисперсии, методы ее расчета
- •8.9. Сложение дисперсий изучаемого признака
- •8.10. Упрощенные способы вычисления средней арифметической и среднего квадратического отклонения
- •8.11. Основные правила применения средних в статистике
- •Контрольные вопросы по теме 8
- •Тема 9. Ряды динамики
- •9.1. Понятия рядов динамики и их виды
- •9.2. Обеспечение сопоставимости в рядах динамики
- •9.3. Основные характеристики рядов динамики
- •9.4. Средние показатели в рядах динамики
- •9.5. Изучение основной тенденции развития (тренда)
- •9.6. Выявление и изучение сезонных колебаний
- •9.7. Совместный анализ нескольких рядов динамики
- •Контрольные вопросы по теме 9
- •Тема 10. Индексы
- •10.1 Общее понятие об индексах. Классификация индексов
- •Индексы классифицируются по ряду признаков:
- •10.2. Индивидуальные индексы
- •10.3. Агрегатная форма общего индекса
- •Агрегатный индекс физического объема (реализации) товарооборота.
- •10.4. Преобразование агрегатного индекса в индексы средних
- •10.5. Индексы переменного и фиксированного состава
- •10.6. Другие виды индексов
- •10.7. Система взаимосвязанных индексов
- •Контрольные вопросы по теме 10
- •Тема 11. Графические изображения в статистике
- •Контрольные вопросы по теме 11.
- •11.1. Понятие о статических графиках. Основные элементы графика
- •11.2. Виды статистических графиков. Графики сравнения
- •11.3. Наглядное изображение структуры и структурных сдвигов
- •11.4. Контроль выполнения плана с помощью графиков
- •Контрольные вопросы по теме 11
- •Тема 12. Выборочный метод в статистических исследованиях
- •12.1. Выборочное статистическое наблюдение и его виды
- •12.2. Ошибка выборки
- •12.3. Обоснование численности выборки
- •А) для доли альтернативного признака
- •12.4. Способы распространения характеристик выборки на генеральную совокупность
- •12.5.Способы отбора единиц из генеральной совокупности
- •12.6. Малая выборка
- •Контрольные вопросы по теме 12
- •Тема 13. Корреляционная связь и ее статистическое изучение
- •13.1. Предпосылки изучения корреляционной связи
- •13.2. Статистические методы выявления корреляционной связи
- •13.3. Статистическое измерение тесноты корреляционной связи. Показатели меры тесноты корреляционной связи
- •13.4. Корреляция рангов
- •Примеры на ранговые корреляции
- •13.5 Множественная и частная корреляция
- •13.6. Статистические исследования формы корреляционной связи. Линия регрессии и уравнение регрессии
- •13.7. Статистическое исследование зависимости между качественными признаками
- •13.8. Изучение корреляционной зависимости между рядами динамики
- •Контрольные вопросы по теме 13
- •Тема 14. Статистическая проверка гипотез
- •Контрольные вопросы по теме 14.
- •14.1. Сущность и задачи статистической проверки гипотез
- •14.2. Критерий как инструмент проверки статистической гипотезы. Выбор типа критической области
- •14.3. Проверка гипотезы о принадлежности выделяющих единиц исследуемой генеральной совокупности
- •14.4. Понятие о критерии согласия (проверка гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному)
- •14.5. Проверка гипотезы о величине средней арифметической и доли
- •14.6. Понятие о критерии для измерения связи
- •Контрольные вопросы по теме 14
- •Литература
- •220013, Минск, п. Бровки, 6
8.8. Основные показатели вариации. Свойства дисперсии, методы ее расчета
Большинство показателей вариации (колеблемости, рассеивания) исчисляется на основе отклонений признака у отдельных единиц совокупности от средней арифметической, т.к. средняя арифметическая является обобщающей характеристикой свойств ряда (совокупности).
Более объективно меру вариации признака отражает показатель дисперсии (или средний квадрат отклонений). Поэтому на практике наиболее часто используется для характеристики меры вариации этот показатель или показатель, базирующийся на дисперсии (среднее квадратическое отношение, коэффициент вариации). Поэтому условно назовем эту группу показателей вариации как группу основных показателей вариации.
Дисперсия (и соответственно ) используется при организации выборочного наблюдения, при оценке полученных на основе выборки статистических показателей. (Об этом подробно будем говорить в теме “Выборочное наблюдение”). Дисперсия может использоваться для построения показателей тесноты корреляционной связи, анализа влияния различных факторов (сложение дисперсий).
Дисперсия (средний квадрат отклонений) исчисляется средняя из отклонений, возведенных в квадрат:
или .
Итак, чтобы вычислить дисперсию нужно проделать следующие операции:
найти отклонения каждой варианты ряда от средней арифметической ;
возвести эти отклонения в квадрат;
умножить квадрат отклонения на соответствующую частоту и суммировать;
полученную сумму нужно разделить на сумму частот .
Дисперсия (средний квадрат отклонений) имеет ряд математических свойств (доказываемых в математической статистике), которые позволяют упростить технику ее расчета;
если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится:
;
если все значения вариант умножить или разделить на какое-то постоянное число А, то дисперсия увеличится или уменьшится от этого в раз:
или .
Другими словами, постоянный множитель вариант выносится за знак дисперсии возведенным в квадрат;
если исчислить дисперсию от любой величины признака, которая в той или ной степени отличается от средней арифметической , то он всегда будет больше дисперсии, исчисленной от средней арифметической:
.
Это свойство носит название свойство минимальности. При этом больше на определенную величины – на квадрат разности между средней и этой условно взятой величиной:
.
Использование указанных свойств дисперсии позволяет упростить ее расчет, особенно в тех случаях, когда вариационный ряд составляет арифметическую прогрессию или имеет равные интервалы.
Например, пусть . Тогда по 3-му свойству имеем:
.
Отсюда: средний квадрат отклонений равен среднему квадрату индивидуальных значений признака минус квадрат среднего значения признака.
Изложенный способ расчета дисперсии называется способом моментов или способом отсчета от условного нуля.
Пример. Расчет среднего уровня и способом моментов.
Вес урожая, 2 см2 |
Варианты X |
Число участков (частоты f) |
Условные отклонения |
Xf |
X²f |
90-100 |
95 |
2 |
-4 |
-8 |
32 |
100-110 |
105 |
5 |
-3 |
-15 |
45 |
110-120 |
115 |
13 |
-2 |
-26 |
52 |
120-130 |
125 |
17 |
-1 |
-17 |
17 |
130-140 |
135= |
18 |
0 |
0 |
0 |
140-150 |
145 |
31 |
1 |
31 |
31 |
150-160 |
155 |
22 |
2 |
44 |
88 |
160-170 |
165 |
5 |
4 |
20 |
80 |
170-180 |
175 |
5 |
4 |
20 |
80 |
Сумма |
- |
125 |
0 |
65 |
453 |
Среднее арифметическое г/м2 .
Средний квадрат отклонений (дисперсия)
.
Корень квадратный из дисперсии (среднего квадрата отклонения) представляет собой наиболее широко применяемый в статистических исследованиях показатель вариации – среднее квадратическое отклонение (иногда называют стандартное отклонение).
.
Среднее квадратическое отношение является мерилом надежности средней. Чем меньше , чем лучше среднее арифметическое отражает собой всю изучаемую совокупность.
В приведенном примере г/м2. Среднее квадратическое отклонение всегда выражается в тех именованных числах, в которых выражена и средняя. Оно дает абсолютную меру вариации.
Исходя из сказанного, по своему абсолютному значению среднее квадратическое отклонение ( ) зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней (или значений) вариаций и средней. Поэтому сравнивать средние квадратические отклонения вариационных рядов с разными уровнями непосредственно нельзя. Для этих целей исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы совокупности одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей).
Для этой цели в статистических исследованиях широко применяется коэффициент вариации, т.к. средняя величина ( ) отражает тенденцию развития (т.е. действие главных факторов), а среднеквадратическое отклонение ( ) дает обобщенную характеристику колеблемости всех вариантов совокупности (измеряет силу воздействия прочих факторов).
Итак, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом считается, что если ν больше 40%, то имеет место большая колеблемость изучаемого признака.
В нашем примере:
.
Дисперсию и среднюю альтернативного признака можно определить по формулам:
и ,
где p – доля единиц, обладающих признаком;
g - доля единиц, не обладающих признаком;
притом p+g=1, g=1-p.
Среднеквадратическое отклонение .