8.9. Сложение дисперсий изучаемого признака

По сравнению с другими показателями вариации дисперсия имеет ряд преимуществ. Главное преимущество получило название закона (правила) сложения дисперсий.

Мы уже неоднократно говорили о том, что даже в качественно однородных массовых явлениях в развитии отдельных групп единиц проявляется своеобразие. Поэтому применяется метод группировки к изучаемой совокупности. Итак:

• по всей совокупности мы можем рассчитать общую среднюю для всей совокупности;

• по отдельным группам соответственно можно рассчитать групповые или частные средние.

Тогда можно вычислить три показателя дисперсии:

1. общую дисперсию;

2. среднюю из внутригрупповых дисперсий;

3. дисперсию групповых средних (или межгрупповую дисперсию).

Величина общей дисперсии ( ) характеризует вариацию признака под влиянием всех условий, вызывающих эту вариацию. Общая дисперсия, как познакомились выше, вычисляется по формуле

.

Изменчивость индивидуальных значений (вариант) признака внутри групп происходит под влиянием других, не учитываемых факторов и не зависит от признака – фактора, положенного в основу группировки. Внутригрупповая дисперсия определяется как взвешенная средняя из дисперсий по отдельным группам, т.е. по формуле

.

Межгрупповая дисперсия (дисперсия средних) отражает различия в величине изучаемого признака в “чистом виде”, т.к. влияние других факторов, специфических для каждой группы, невилированы в групповых средних и определяется по формуле

Рассмотрим пример. Имеются данные о производительности труда в двух группах рабочих, прошедших и не прошедших техническое обучение.

Часовая выработка (в штуках), В	Рабочие, прошедшие техническое обучение	Рабочие, не прошедшие техническое обучение	Всего
1	-	1	1
2	-	3	3
3	-	4	4
4	4	3	7
5	2	1	3
6	2	-	2
Всего	8	12	20

Определим величину общей дисперсии:

.

Определим величины групповых дисперсий и среднюю их значений:

а) по рабочим, прошедшим техническое обучение:

B
4	4	-0,75	0,5625	2,250
5	2	0,25	0,0625	0,125
6	2	1,125	1,5625	3,125
Всего	8	-	-	5,500

= 4,75 шт.;

б) по рабочим, не прошедшим техническое обучение:

B
1	1	-2	4	4,0
2	3	-1	1	3,0
3	4	0	0	0,0
4	3	1	1	3,0
5	1	2	4	4,0
Всего	12	-	-	14,0

= 3 шт. .

Отсюда внутригрупповая дисперсия будет равна:

Определим величину межгрупповой дисперсии (дисперсию групповых средних):

Группы рабочих	Число рабочих по группе	Средняя часовая выработка 1 рабочего
прошедшие техническое обучение	8	4,75	1,05	1,1025	8,82
не прошедшие техническое обучение	12	3,00	-0,7	0,4900	5,88
Всего	20		-	-	14,7

Отсюда .

Нетрудно заметить на этом примере, что указанные дисперсии взаимосвязаны между собой следующим равенством: величина общей дисперсии равна сумме величин межгрупповой дисперсии (дисперсии групповых средних) и средней из внутригрупповых дисперсий, т.е.

.

В нашем примере 1,71=0,975+0,735

Это тождество получило название закона (правила) сложения дисперсий.

Опираясь на это правило можно определить, которая часть общей дисперсии формируется под влиянием изучаемого фактора, положенного в основу группировки (отражает так называемую систематическую вариацию) и какая часть – за счет неучтенных факторов.

Средняя из групповых дисперсий ( ) дает обобщенную характеристику случайной вариации изучаемого признака, возникающего под влиянием неучтенных факторов.

Теоретический и практический интерес правила сложения дисперсий заключается в следующем:

1. зная две дисперсии можно всегда определить третий вид дисперсии;

2. зная дисперсию групповых средних (межгрупповую дисперсию) и общую дисперсию можно судить о силе влияния группировочного признака на изучаемое явление.

Например, изучаем влияние на общую урожайность внесения удобрений. Очевидно, чем ближе будет дисперсия групповых средних (когда все земельные участки сгруппированы на удобренные и неудобренные) к общей дисперсии, тем больше будет влияние внесения удобрений на общую урожайность.

В математической статистике для оценки тесноты связи с использованием этого правила обоснована формула корреляционного отношения:

, где .