Контрольные вопросы и задания

1. Какая из двух составляющих соотношений (13.1), (13.2) направляет персонал, работающий в составе натурнодействующей управляющей системы и управляющей системы с нормативной моделью, на взаимодействие друг с другом?

2. От каких показателей зависят критерии эффективности шихтовки ?

3. Зависит ли от шихтуемой марки стали значение ?

4. Как связаны между собой показатели эффективности и ?

5. Назовите причины, по которым корректируется нижний предельный показатель эффективности К^*.

6. В зависимости от соотношения каких величин определяется показатель нестабильности шихтовки плавок?

7. Для чего введена вторая составляющая обобщенных (интегративных) показателей эффективности принимаемых решений в соотношениях (13.1) и (13.2)?

Лекция 14. Исследование условий оптимизации различных структур обобщенного критерия эффективности

В условиях существенной неопределенности представляют интерес различные структуры общевариантных критериев [47], среди которых рассмотрим следующие структуры, записанные для натурнодействующей управляющей системы:

, (14.1)

, (14.2)

, (14.3)

(14.4)

, (14.5)

где d_1, d_3,2, d₅ – коэффициенты, значения которых лежат в ди-

апазоне 0,3 ÷ 0,7 (найдены эмпирически);

d_3,1, d_4,1 – коэффициенты, которые находятся в диапазоне

0,6 ÷ 0,8;

d₂, d_4,2 – коэффициенты при нелинейных составляющих,

которые тоже являются нелинейными и зависят

от величины модуля разности [ ];

– максимальное значение критерия эффективности

работы управляющей системы с нормативной мо-

делью, соответствующее наилучшему управляю-

щему воздействию, выработанному этой системой

в виде интервала решений.

Аналогичные соотношения можно записать для модельнодействующей управляющей системы.

Суть показателя (14.5) сводится к следующему. Машинный управляющий канал (система с нормативной моделью) вырабатывает и сообщает натурнодействующей управляющей системе свои управляющие решения в виде интервальных значений [ ]. После реализации на натурном объекте решения натурнодействующей управляющей системы и получения результатов реализации этого решения с помощью приобъектно-пересчетной математической модели рассчитываются результаты работы управляющей системы с нормативной моделью (также в интервальной форме). При оценивании эффективности функционирования этой системы из интервала решений выбирается то из них, которое обеспечивает наибольшее значение критерия эффективности управляющей системы с нормативной моделью . Этот показатель и учитывается при оценивании общевариантного критерия эффективности машинной управляющей системы .

Приведенные разновидности общевариантных критериев (14.1) – (14.5) повышают заинтересованность производственного персонала (человека-технолога) в составе натурнодействующей управляющей системы в увеличении не только собственной эффективности, но и эффективности работы машинного канала (модельнодействующей управляющей системы). При этом последняя составляющая приведенных показателей способствует активному взаимодействию обеих систем.

Проанализируем интегративные (обобщенные) показатели эффективности типа (14.1) – (14.4) с тем, чтобы выявить, при каких условиях показатель эффективности модельнодействующей управляющей системы принимает максимальное значение. Задача ставилась следующим образом.

Дано: Одна из приведенных структур общевариантного критерия, соответствующая соотношениям (14.1) – (14.4); ограничения: [0, 1]; коэффициенты d₁, d₂, d_3,1, d_3,2, d_4,1, d_4,2 >0; d_3,1 >d_3,2; d_4,1 >d_4,2.

Требуется: найти такие соотношения , при которых .

Задача решалась последовательно для каждого из приведенных выше видов обобщенного критерия эффективности, соответствующих соотношениям (14.1) – (14.4). Рассмотрим полученные решения последовательно для каждого из них.

Запишем условие, при котором обобщенный (интегративный) показатель эффективности типа (14.1) примет максимальное значение при отсутствии ограничений. Запишем частную производную вида (14.1) по оптимизируемому параметру и приравняем ее к нулю, т.е. 0, откуда следует, что либо d₁ = 0, либо 0, где означает знаковую функцию разности эффективностей натурного и модельного каналов. Знаковая функция равна нулю, если . Следовательно, для рассматриваемого вида обобщенного показателя эффективности работы модельнодействующей управляющей системы будет достигнуто тогда, когда обе управляющие системы (модельно- и натурнодействующая) работают с одинаковой эффективностью.

На рисунке 14.1 (позиция «а») приведен график, соответствующий выражению , который построен с учетом того, что [0, 1].

Рассмотрим условия оптимальности величины эффективности для обобщенного показателя вида (14.2). После приравнивания к нулю частной производной от обобщенного критерия эффективности получим, что на всем диапазоне значений [0, 1]. Таким образом, условия оптимальности совпали с предыдущим случаем. Следовательно, при использовании обобщенного критерия эффективности (14.2) производственный персонал в составе натурнодействующей управляющей системы заинтересован в том, чтобы эффективность решений, принимаемых модельнодействующей управляющей системой, совпадала с его собственной эффективностью, как и в предыдущем случае.

Запишем теперь условие оптимизации эффективности для обобщенного критерия вида (14.3), т.е.

0; откуда выражение для знаковой функции можно записать: .

Знаковая функция принимает значения:

. (14.6)

При выполнении условий (1) выражения (14.6) получим, что ; при выполнении условий (2) имеем , как и в предыдущих случаях. Если же выполняется условие (3), то . С учетом ранее принятых ограничений на коэффициенты d_3,1 и d_3,2 , т.е. d_3,1 > и 0 d_3,2 > 0, а также , ни одно из записанных решений (1) ÷ (3) знаковой функции (14.6) не существует, так как любое их них противоречит условиям задачи оптимизации.

Поэтому для обобщенного показателя типа (14.3) с учетом принятых ограничений оптимальные значения необходимо отыскивать поисковыми методами. Исходя же из логических соображений и учитывая конечную цель использования такого обобщенного показателя эффективности, можно сказать, что для получения максимального значения необходимо, чтобы при → 1,0 последний член выражения (14.3) был равен нулю,

т.е. = 0. При 0 и 0, 0 получим, что .

Рассмотрим теперь условия оптимизации для обобщенного оценочного показателя, соответствующего выражению (14.4). После приравниванию к нулю частной производной от по получим:

. (14.7)

Без учета принятых ограничений на и получим при и 0. Например, при d_4,1 =0,5, d_4,2 = 0,3 имеем 0,83+ . График изменения для различных значений приведен на рисунке 14.1 (кривая 2) и соответствует позиции «б».

а) б)

в)

Рисунок 14.1 – Графики зависимости (а) и (б, в) для случаев условной ( ) и безусловной (----) оптимизации:

При и 0 получим 0, , что сводится к вышеописанным случаям.

При имеем 0,5 + , соответствует позиции «б» графика, приведенного на рисунке 14.1 (кривая 3).

При 0, 0 или 0, < 0 получим ; например, при d_4,1 = 0,5; d_4,2 = – 0,3 имеем – 0,83 + , что соответствует позиции «б» на рисунке 14.1 (кривая 5).

C учетом принятых ограничений на , и d_4,2 получим оптимальное решение в виде

(14.8)

Графически этот случай соответствует позиции «в» рисунка 14.1 для примера, когда d_4,1 = 0,5; d_4,2 = 0,3.

Таким образом, в рассмотренных функциях, описывающих обобщенные показатели эффективности функционирования натурно- и модельнодействующих управляющих систем, оптимальные решения в условиях заданных ограничений соответствуют случаю, когда .