Опровержение

§ 31. Опровержение, как мы уже знаем, по существу не отличается от доказательства. Опровержение состоит либо в доказательстве того, что посылки ошибочны или сомнительны, либо в доказательстве того, что вывод не вытекает с необходимостью из данных посылок, хотя бы каждая из них в отдельности была истинной. При этом для опровержения не требуется, чтобы посылки были непременно ложными: достаточно, чтобы они были только сомнительными, – и вывод уже не имеет доказательной силы.

Опровержение известного утверждения, т. е. доказательство ложности его по существу, есть в то же время опровержение всякого доказательства этого утверждения, каковы бы ни были применяемые при этом формы доказательства.

Но опровержение данного доказательства, т. е. обнаружение его несостоятельности, не есть eще опровержение того тезиса, или утверждения, которое должно было быть обосновано посредством этого доказательства. Вполне возможен случай, когда тезис по существу истинен, но доказательство, при помощи которого его пытаются обосновать, ошибочно. Ошибочным оно может быть или потому, что пытаются вывести его из ложных оснований, или же потому, что, несмотря на истинность оснований, не умеют показать, какова необходимая связь, ведущая от этих оснований к тезису.

Поэтому обнаружение несостоятельности доказательства не есть еще обнаружение ложности доказываемого положения. Так как одно и то же положение может быть доказываемо, вообще говоря, не одним единственным, а несколькими способами, то возможен случай, когда, опровергнув несостоятельное доказательство, указывают затем истинное, при помощи которого тезис действительно может быть доказан.

Подобные случаи наблюдаются и в практике повседневного мышления и в развитии науки. Бывает, что неискусный спорщик отстаивает верное по существу положение, но неспособен найти надлежащее доказательство, которое привело бы к очевидности доказываемый им тезис. Но и в истории наук, даже таких точных, как математика, не раз бывало, что в доказательствах, которые ранее считались безупречно строгими, со временем – по мере уточнения понятий – обнаруживались неточности, и тогда эти доказательства исправлялись, т. е. заменялись более строгими, действительно раскрывающими необходимую связь между основаниями и тезисами.

Основания как части доказательств

§ 32. Рассматривая доказательства любой математической науки, нетрудно заметить, что все истинные положения этой науки образуют как бы длинную цепь, в которой каждый доказываемый тезис опирается на ранее доказанные основания, а эти основания в свою очередь доказываются как тезисы – из других оснований и т. д.

Однако это восхождение от тезисов к основаниям и от этих оснований, рассматриваемых как тезисы, к другим основаниям не может продолжаться до бесконечности. Раньше или позже мы дойдём до таких положений, которые уже не могут быть доказаны с помощью других оснований и которые сами являются основаниями, посредством которых доказываются – прямо или косвенно – все без исключения положения и теоремы данной науки.

Прямое участие этих оснований в доказательствах заключается в том, что положения эти применяются при доказательстве некоторых теорем в качестве единственных оснований, на которые опирается доказательство этих теорем. Так, в геометрии первый теоремы этой науки доказываются не на основании других теорем, а на основании определений основных понятий геометрии и на основании некоторых аксиом, или постулатов, которые уже нигде далее не доказываются.

Косвенное участие этих оснований в доказательствах заключается в том, что теоремы, доказываемые при помощи одних только этих оснований, в свою очередь служат основаниями для доказательства других положений и теорем данной науки.

Так как эти основания являются для каждой математической науки основаниями, уже не выводимыми из других оснований, и так как, достигнув их, мы уже не можем продолжать восхождение к новым основаниям, то такие основания принято называть последними или исходными основаниями как данной науки в целом, так и всех употребляемых в ней доказательств.

Но так как при изложении математических наук на первом месте сообщаются именно исходные основания науки и уже затем с помощью этих оснований доказываются сначала первые, а затем все последующие теоремы этой науки, то исходные основания иногда называют также и первыми основаниями.