§ 8.3. Пружинный и математический маятники

Пружинный маятник – груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы (k – жесткость пружины) (рис. 8.5).

• Уравнение движения

• Решение уравнения

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити и колеблющейся под действием силы тяжести (рис. 8.6).

• Уравнение движения

• Решение уравнения

+Q

+Q

Рис. 8.5

Рис. 8.5

Рис. 8.6

α

Рис. 8.6

α

• Периоды колебаний маятников

• Потенциальная энергия пружинного маятника. Согласно формулам

и

получим, что потенциальная энергия пружинного маятника

Превращения энергии при свободных гармонических незатухающих колебаниях происходят в соответствии с законом сохранения механической энергии:

При отклонении маятника из положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая – уменьшается. Если маятник проходит положение равновесия, его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия маятника максимальна и равна полной энергии. В состоянии же максимального отклонения нулю равна кинетическая энергия, а потенциальная – максимальна и равна полной энергии. Следовательно,

§ 8.4. Свободные гармонические колебания в

колебательном контуре

Колебательный контур – осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

I

-Q

+Q

t = 0

-Q

I

Рис. 8.7

+Q

Рис. 8.8

I

-Q

+Q

t = 0

-Q

I

Рис. 8.7

+Q

Рис. 8.8

• Основное уравнение электромагнитных колебаний

его решение

где Q _m – амплитуда колебаний заряда; – собственная частота контура.

• Период свободных незатухающих колебаний (формула Томсона)

• Сила тока в колебательном контуре

где – амплитуды силы тока.

• Напряжение на конденсаторе

где – амплитуда напряжения.

Колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на π/2 (рис. 8.9), т.е. когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение на конденсаторе) обращается в нуль, и наоборот.

Q,I

t

I

Q

Рис. 8.9

Q,I

t

I

Q

Рис. 8.9

§ 8.5. Вынужденные механические и электромагнитные

колебания

В любой реальной колебательной системе совершаются затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии.

Вынужденные колебания:

• механические – незатухающие колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы

где F₀ - амплитудное значение вынуждающей силы. Например, колебания гребных винтов, валов турбин.

• электромагнитные – незатухающие колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся ЭДС,

где ε₀ - амплитудное значение вынуждающей ЭДС; ω₀ - круговая частота переменной ЭДС. Например, колебания силы тока в цепи переменного тока.

Механические резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении (приближении) частоты внешней вынуждающей силы с частотой свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы. При механических колебаниях резонанс отчетливо выражен при малых значениях коэффициента трения.

Электромагнитный резонанс – явление резкого возрастания вынужденных колебаний при совпадении (приближении) частоты вынуждающего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура. В колебательном контуре резонанс отчетливо выражен при малом активном сопротивлении R.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, в радиотехнике, прикладной акустике, электротехнике используют явление резонанса.