4. Некоторые сведения векторной алгебры

В физике все величины подразделяются на два вида: скалярные и векторные.

Если любое значение физической величины можно выразить одним действительным числом, то величина называется скаляром. Например: время t, масса m, температура Т, электрический заряд q, давление p.

Если значение некоторой величины должно определяться не только числом, но и направлением, то такая величина называется вектором являются скорость , ускорение , сила , напряженность электрического поля , магнитная индукция , напряженность магнитного поля и др. Вектор – это математическая величина, характеризующаяся длиной и направлением. Векторы изображаются отрезками со стрелкой на конце и обозначаются буквами со стрелкой наверху.

Он определяется своей величиной (модулем) и направлением. Направление задается единичным вектором , причем .

• Умножение вектора на действительное число

Умножение вектора на действительное число k дает вектор . При этом направление сохраняется с точностью до знака.Модуль умножается на модуль k.

Направление вектора : +, если и , если .

При значении вектора ; его модуль

величина

направление

Рис. П1. Вектор, модуль ,

единичный вектор

величина

направление

Рис. П1. Вектор, модуль ,

единичный вектор

Рис. П1. Сложение векторов и

Рис. П1. Сложение векторов и

• Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение двух векторов и определяется как скаляр

,

где - угол между двумя векторами.

Рис. П3. Скалярное произведение

двух векторов и .

Рис. П3. Скалярное произведение

двух векторов и .

Два вектора и :

• перпендикулярны (ортогональны), если , при этом

• параллельны, если , при этом

• антипараллельны, если , при этом .

• Векторное произведение двух векторов

Если из двух векторов и в трехмерном действительном пространстве образовать произведение , то оно представляет собой вектор:

• равный площади определяемого векторами и параллелограмма , где – угол между векторами и ;

• перпендикулярный к и ;

• совпадающий с направлением движения правого винта, если его вращать по кратчайшему пути от первого вектора ко второму.

Рис. П5. Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки.

Рис. П5. Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки.

Рис. П4. Векторное произведение

двух векторов и .

Рис. П4. Векторное произведение

двух векторов и .

При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свое направление на противоположное

.

У параллельных векторов векторное произведение равно нулю, а у перпендикулярных – скалярное.