§ 2.2. Второй и третий законы Ньютона.

Второй закон Ньютона. Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела):

или

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

Более общая формулировка второго закона Ньютона. Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе:

Импульс материальной точки - векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости:

Единица импульса: килограмм – метр в секунду (кг · м/с).

Принцип независимости действия сил. Если на материальную точку действуем одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было.Силы и ускорения можно разлагать на составляющие, что приводит к существенному упрощению решения задач. Например, на рис. 2.1 действующая сила разложена на два компонента: тангенциальную силу (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу (направлена по нормали к центру кривизны):

Третий закон Ньютона. Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга имеет характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Рис. 2.1

Рис. 2.1

§ 2.3. Преобразования Галилея.

Механический принцип относительности (принцип относительности Галилея) - во всех инерциальных системах отсчета законы классической динамики имеют одинаковую форму.

Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами х, у, z), которую условно будем считать неподвижной, и систему К' (с координатами x', у', z'), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью (= const). Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих систем совпадают. Пусть в произвольный момент времени t расположение этих систем друг относительно друга имеет вид, изображенный на рис. 2.2. Вектор скорости направлен вдоль OO'; радиус-вектор, проведенный из О в О',

Связь между радиусами-векторами произвольной точки А в обеих системах:

y

z

x

z’

y’

x’

O

O’

A

’

Рис. 2.2

y

z

x

z’

y’

x’

O

O’

A

’

Рис. 2.2

Связь между координатами произвольной точки А в обеих системах:

Где соответственно проекции скорости на оси координат.

Преобразования координат Галилея. В частном случае, когда система К' движется со скоростью вдоль положительного направления оси х системы К (в начальный момент времени оси координат совпадают), преобразования координат Галилея имеют вид

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, т. е. к записанным преобразованиям можно добавить еще одно уравнение:

Записанные соотношения справедливы лишь в случае классической механики (u<<c), а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразованиями Лоренца.

Продифференцировав

по времени, учитывая, что t = t', получим

- правило сложения скоростей в классической механике.

Ускорение

Следовательно, если на точку А другие тела не действуют (), то и т. е. система К' является инерциальной (точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно или покоится). Это и есть доказательство механического принципа относительности.

Уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются, т. е. являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат.