Глава 4. Построение доверительных интервалов для параметров распределения генеральной совокупности

§1. Схема построения доверительных интервалов

Постановка задачи

Дано:

• - генеральная совокупность. Распределение СВ (случайная величина) содержит неизвестный параметр .

• Задана доверительная вероятность ( - уровень значимости; обычно , , ).

• Дана выборка объема (в общем случае это случайная выборка )

Найти доверительный интервал , т.е. такой интервал, что .

Схема решения задачи

1. Находим точечную оценку параметра (это статистика или СВ )

2. Подбираем статистику , так чтобы выполнялись условия:

   • Закон распределения известен, но функция распределения или функция плотности не содержатся в задании .

Чаще всего будем использовать следующие распределения:

1. - нормальное стандартное распределение.

г де - функция Лапласа

2. - распределение ХИ квадрат, имеющее степеней свободы.

3. Распределение Стьюдента, имеющее степеней свободы (при )

4. распределение Фишера, имеющее и степеней свободы

• Ф ункция строго монотонна и непрерывна по параметру .

Это означает, что можно однозначно выразить

3. Пусть схематично изображены графики функции плотности ( ) статистики и функции распределения ( ).

• Заметим, что равносильно

Пусть , где - квантиль распределения порядка

Напомним:

Если - функция распределения , то (определение квантиля порядка )

Тогда

Вывод: для нахождения границ интервала удобно

Эти квантили основных распределений даны в таблицах.

В общем случае, если известна формула распределения, то для нахождения квантили решаем уравнение:

(обратная функция)

Итак: находим квантили распределения

Е сли функция плотности – четная (график симметричен относительно оси Y), то

4. Составляем неравенство и решаем относительно ( )

§2. Решение типовых задач

Задача 1 (Доверительный интервал для математического ожидания при известном )

Дано:

• Генеральная совокупность имеет нормальное распределение, причем известна:

• - выборка

По доверительной вероятности построить доверительный интервал для математического ожидания

Решение:

1. Точечная оценка для математического ожидания – это выборочное среднее.

2. Известно, что ( распределена нормально с параметрами )

3. Р ассмотрим статистику ,

4. 

5. 

6. , где - квантиль порядка ,

Решение неравенства: , где =>

Ответ:

Замечание: Если длина доверительного интервала известна, , то возможно 2 варианта прикладных задач.

Задача 1.1

Дано:

• 

Найти:

• объем выборки

Решение:

1. (выражаем из )

Задача 1.2

Найти:

• уровень значимости

Решение:

1. 

2. (выражаем из )

3. 

4. По таблице значений функции Лапласа находим соответствующее значение:

Задача 2 (Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестном σ)

Дано:

X ;

По доверительной вероятности построить доверительный интервал для математического ожидания

Решение:

1. В качестве точечной оценки для МО: , где , т.к. неизвестное, то для оценки используем исправленную дисперсию:

2. Р ассмотрим статистику: ; СВ Т имеет распределение Стьюдента с степенями свободы ; (Функция распределения не зависит от )

3. График функции плотности:

4. , где - квантиль порядка ; распределение Стьюдента с степенями свободы

5. Решаем неравенство: , где

6. 

Ответ: , где

Задача 3 (Построение доверительного интервала σ² при известном параметре m)

Дано:

• 

• (математическое ожидание)- известно;

• - выборка;

• – уровень значимости.

Найти:

• доверительный интервал для ( и для ):

Решение:

1. Т.к. математическое ожидание нам известно, то в качестве точечной оценки для возьмем центрированную дисперсию: (несмещенная оценка дисперсии)

2. Рассмотрим статистику - имеет распределение с степенями свободы. Функция распределения не зависит от .

3. Г рафик функции плотности:

4. , где – квантиль порядка распределения с степенями свободы; – квантиль порядка распределения с степенями свободы

5. Решаем неравенство:

Ответ: доверительный интервал для ( ):

Задача 4 (Построение доверительного интервала для σ при неизвестном m)

Дано:

• - неизвестно;

• - уровень значимости;

• -случайная выборка

Найти:

• доверительный интервал для (для ):

Решение:

1. Т.к. математическое ожидание неизвестно, то в качестве точечной оценки для возьмем исправленную выборочную дисперсию: , где (несмещенная оценка дисперсии)

2. Рассмотрим статистику: - распределение с степенями свободы; Функция распределения не зависит от

3. Г рафик функции плотности:

4. , где - квантиль порядка распределения с степенями свободы; - квантиль порядка распределения с степенями свободы.

5. Решаем неравенство:

Ответ: доверительный интервал для ( ) -

Задача 5 (Доверительный интервал для вероятности успеха в распределении Бернулли)

Дано:

• Проведено испытаний. Успех А произошел ровно m раз.

• ( неизвестно);

• – уровень значимости;

• - вероятность успеха в одном испытании.

Найти:

• доверительный интервал для :

Решение:

1. Точечной оценкой для является относительная частота ( – эффективная состоятельная оценка ); Известно, что

2. Рассмотрим статистику: , где – стандартное нормальное распределение ; Распределение не зависит от

3. Г рафик функции плотности:

4. ; - квантиль порядка стандартного нормального распределения

5. Решаем неравенство:

Ответ: , где ,

Задача 6 (Доверительный интервал для параметра λ распределения Пуассона)

Дано:

• распределена по закону Пуассона с параметром ; неизвестно.

• - определение закона Пуассона

• Проведено испытаний;

• - выборка

• - уровень значимости.

Найти:

• доверительный интервал для параметра :

Решение:

1. Эффективной точечной оценкой параметра в распределении Пуассона

2. , где ; Полагаем: , ,

3. Р ассмотрим статистику: , где - стандартное нормальное распределение;

4. Функция плотности:

не зависит от

5. ; – квантиль порядка стандартного распределения

6. Решаем неравенство:

Ответ: , где

Задача 7 (Доверительный интервал генеральной доли , нормально распределенной генеральной совокупности при большом объеме выборки (собственно – случайный повторный отбор)

Дано:

• - объем выборки

• - выборочная доля

• 

• - генеральная доля

Найти:

• доверительный интервал для :

Решение:

1. Точечной оценкой для является выборочная доля: , где

2. Р ассмотрим статистику: , где

3. График функции плотности:

4. ; - квантиль порядка стандартного нормального распределения

5. Решаем неравенство:

Ответ: , где

Задача 8 (Доверительный интервал генеральной доли нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной доле при большом объеме выборки (собственно – случайный бесповторный отбор)

Дано:

• 

• - объем выборки

• - число элементов из которых производится выборка

Найти:

Решение:

1. Статистика для доверительного интервала :

, где

2. Аналогично решению задачи №7

Ответ: , где

Замечание:

• Если объем выборки маленький ( ), то для решения Задачи 7 имеем следующий интервал: , где , - квантиль распределения Стьюдента порядка с числом степеней свободы

• Для решения Задачи 8 при имеем следующий интервал:

, где

Задача 9

Бюро по найму рабочих желает оценить средние ставки рабочих вакансий в определенной отрасли промышленности. Случайная выборка 61 вакансии дала = 42,539 рублей, _выб = 11, 690 рублей. Постройте доверительный интервал для средних ставок по вакансиям в данной отрасли промышленности.

Задача №10

Консультационной фирме необходимо оценить средний стаж работы менеджеров в фирме «Балтика». Случайная выборка 28 менеджеров показала, что = 4,2 лет. Предполагается, что _ген =2,2 года. Постройте 99% доверительный интервал для среднего стажа работы менеджеров в фирме «Балтика».

Задача №11

Опрос 300 случайно отобранных жителей города «Н» показал, что 55% из них довольны деятельностью вновь избранного мера. Постройте 95% доверительный интервал доли жителей этого города, которые так же доверяют мэру.

Задача №12

Менеджер банка проверяет ежемесячные платежи по счетам. Он сделал выборку из 100 счетов и вычислил исправленное С.К.О. Какой 95% доверительный интервал для дисперсии построил менеджер?