§2. Решение типовых задач (проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий Пирсона )

Постановка задачи

Пусть x1,x2,…x_n – выборка наблюдений случайной величины Х. Проверяется гипотеза : Х имеет распределение F(x).

Проверка гипотезы при помощи критерия осуществляется по следующей схеме:

1. Если есть неизвестные параметры, то по выборке находят точечные оценки этих параметров (метод моментов, метод максимального правдоподобия или другие известные методы).

2. Область возможных значений Х разбивают на “k” множеств (если Х – дискретная СВ – то это значения СВ, если Х – непрерывная СВ – то это интервалы).

3. Пусть - число элементов выборки, принадлежащих множеству i ( ).

4. Используя предполагаемый закон распределения Х находят вероятности . ={Xi} i=1,2,…,k. ( ). Все данные заносятся в таблицу. Выборочное значение статистики критерия вычисляется по формуле

5. Задается уровень значимости  и вычисляется критическая точка – порог испытаний: - квантиль распределения порядка (1-), где r (число степеней свободы)=k-1-l (k – число интервалов, l – число неизвестных параметров).

6. Строим критическую область

Правило принятия решения: Если , то гипотезу Но о виде распределения СВ Х принимаем на уровне значимости , а в противном случае – отвергаем.

Задача 1 (см. задача №1 «Точечные оценки»)

Х имеет распределение, заданное таблицей. Неизвестные параметры a и b. Точечные оценки: (n=50).

	-1	0	2	4
	2a	a	b	1-3a-b
	0,32	0,16	0,43	0,09
	15	10	20	5

: Х – имеет данное распределение. Проверить данную гипотезу на уровне значимости =0,1, используя критерий согласия Пирсона.

Заполним следующую таблицу:

№				n
1	-1	0,32	15	16	0,0625
2	0	0,16	10	8	0,5
3	2	0,43	20	21,5	0,07
4	4	0,09	5	4,5	0,05

1. 

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=4, l(число неизвестных параметров)=2) r=1.

3. Н айдем порог испытания (квантиль распределения .

4. Строим критическую область:

5. Правило принятия решения: Т.к. (0,68<2,71), то гипотезу на уровне значимости =0,1 принимаем.

Задача 2 (Биномиальное распределение см. задачу №2 «Точечные оценки»)

А – шкатулка с деньгами была отгадана. Р(А)=р. Была получена оценка (n=20). Но: проверить гипотезу о биномиальном распределении на уровне значимости =0,1 (неизвестен один параметр, т.е. l=1).

Составим таблицу:

№				n
1	0		6	6,86	0,1
2	1		9	8,82	0,0037
3	2		4	3 4,32 ,78	0,1
4	3		1	0,54

1. 

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=3, l(число неизвестных параметров)=1) r=1.

3. Н айдем порог испытания (квантиль распределения .

4. Строим критическую область:

5. Правило принятия решения: Т.к. (0,2<2,71), то гипотезу о биномиальном распределении на уровне значимости =0,1 принимаем.

Задача 3 (Распределение Пуассона см. задачу №3 «Точечные оценки»)

Была получена точечная оценка параметра : ( - количество ошибок в одном пакете) при n=100 (неизвестен один параметр, т.е. l=1).

: на уровне значимости =0,1 проверить гипотезу о том, что Х – имеет распределение Пуассона.

Составим таблицу:

№				n
1	0		22	20	0,2
2	1		30	32	0,125
3	2		25	26	0,038
4	3		15	14	0,07
5	4		5	5 ,6	1,125
6	5		2	1,8
7	6		1	0,6

1. 

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=5, l(число неизвестных параметров)=1) r=3.

3. Н айдем порог испытания (квантиль распределения .

4. Строим критическую область:

5. Правило принятия решения: Т.к. (1,558<6,25), то гипотезу Но о распределении Пуассона на уровне значимости =0,1 принимаем.

Задача 4 (дискретное равномерное распределение)

На экзамене студент отвечает только на один вопрос по одной из трех частей курса «Теории вероятности». Экзамен сдавали 60 студентов, при этом : 23 студента получили вопрос из I части, 15 студентов получили вопрос из II части, 22 студента получили вопрос из III части. Можно ли утверждать, что студент, идущий на экзамен, с равной вероятностью получит вопрос из любой части.

Проверяем гипотезу : равномерное распределение (дискретное). Пусть уровень значимости =0,1. Используем критерий .

Составим таблицу:

№				n
1	I часть	1/3	23	20	0,45
2	II часть	1/3	15	20	1,25
3	III часть	1/3	22	20	0,2

1. 

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=3, l(число неизвестных параметров)=0) r=2.

3. Найдем порог испытания (квантиль распределения .

4. С троим критическую область:

5. Правило принятия решения: Т.к. (1,9<4,61), то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем.

Задача 5 (равномерное распределение на отрезке)

Наблюдалось следующее распределение по минутам числа появлений на остановке автобуса, имеющего пятиминутный интервал движения.

Интервал в минутах	Число появлений автобуса
[0;1)	35
[1;2)	34
[2;3)	38
[3;4)	36
[4;5)	42

Проверить гипотезу о равномерном распределении (при =0,05)

:

Примечание:

По предположению: a=0 и b=5

Составим таблицу (n=185):

№	Границы интервалов			n
1	[0;1]		35	37	4/37
2	[1;2)		34	37	9/37
3	[2;3)		38	37	1/37
4	[3;4)		36	37	1/37
5	[4;5]		42	37	25/37

1. 

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=5, l(число неизвестных параметров)=0) r=4.

3. Найдем порог испытания (квантиль распределения .

4. Строим критическую область:

5. Правило принятия решения: Т.к. (1,08<9,49), то нет оснований отклонить гипотезу о равномерном распределении Х на [0;5].

Задача 6 (показательное распределение)

Срок службы батареек для слуховых аппаратов - это случайная величина Х. : Х – имеет показательное распределение с параметром . Для нахождения точечной оценки параметра  была составлена группированная выборка ( - число работающих батареек в течении четырех месяцев). N=200.

№	Границы интервалов	- середины интервалов
1	[0;4)	2	115
2	[4;8)	6	50
3	[8;12)	10	20
4	[12;16)	14	10
5	[16;20]	18	5

Используем метод моментов для нахождения точечной оценки :

• 

• Составляем уравнение :

=0,05

H o:

Примечание:

Составим таблицу:

№	Границы интервалов			n
1	[0;4)		115	110	0,227
2	[4;8)		50	48	0,083
3	[8;12)		20	24	0,66
4	[12;16)		10	10	0
5	[16;∞]		5	8	1,125

1. 

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=5, l(число неизвестных параметров)=1) r=3.

3. Найдем порог испытания (квантиль распределения .

4. Строим критическую область:

5. Правило принятия решения: Т.к. (2,1<7,81), то нет оснований отклонить гипотезу о показательном распределении.

Задача 7 (Нормальное распределение)

В нескольких школах сделали случайную выборку школьниц (n=100) и измерили их рост. Х – рост девушек в возрасте 16 лет (см).

Была составлена следующая группированная выборка:

№	Границы интервалов	- середины интервалов
1	[140;144)	142	2
2	[144;148)	146	4
3	[148;152)	150	10
4	[152;156)	154	14
5	[156;160]	158	25
6	[160;164)	162	35
7	[164;168)	166	8
8	[168;172]	170	2

Выдвигается гипотеза: : .

Т.к. параметры неизвестны, то найдем точечные оценки по методу моментов:

• 

• 

• Составляем уравнение:

: =0,05

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Составим таблицу

№	интервалы			n
1	[ -∞;144)	0,006	2	0 ,6	0,42
2	[144;148)	0,029	4	2,9
3	[148;152)	0,101	10	10,1
4	[152;156)	0,216	14	21,6	2,67
5	[156;160)	0,281	25	28,1	0,34
6	[160;164)	0,22	35	2	7,68
7	[164;168)	0 ,109	8	1 0,9	1,5
8	[168;+∞)	0,038	2	3,8

1. 

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=5, l(число неизвестных параметров)=2) r=2.

3. Найдем порог испытания (квантиль распределения .

4. Строим критическую область:

5. Правило принятия решения: Т.к. (12,6>5,99), то гипотезу о нормальном распределении Х отвергаем на уровне =0,05.

Задача 8( распределение Парето)

Проводилось исследование величины доходов Х населения поселка N выше фиксированного уровня x_o =3(минимальная заработная плата).

Была сделана выборка объема n=50 и составлена группированная выборка. Выдвигается гипотеза : Х – имеет распределение Парето.

Т.к. параметр  неизвестен, то найдем точечную оценку, используя метод моментов.

№	Границы интервалов	- середины интервалов
1	[3;3,4)	3,2	20
2	[3,4;3,8)	3,6	15
3	[3,8;4,2)	4,0	8
4	[4,2;4,6)	4,4	4
5	[4,6;5,0]	4,8	2
6	[5,0;5,4)	5,2	1

По методу моментов найдем точечную оценку параметра :

• 

• Составляем уравнение :

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу :

Примечание:

Вычисляем вероятности попадания в данные интервалы:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

№	интервалы			n
1	[3;3,4)	0,504	20	25,2	1,07
2	[3,4;3,8)	0,23	15	11,5	1,06
3	[3,8;4,2)	0,116	8	5,8	0,83
4	[4,2;4,6)	0,06	4	3	0,03
5	[4,6;5,0)	0,033	2	1 7,5 ,65
6	[5;+∞)	0,057	1	2,85

1. 

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=4, l(число неизвестных параметров)=2) r=2.

3. Найдем порог испытания (квантиль распределения .

4. Строим критическую область:

5. Правило принятия решения: Т.к. (2,99<5,99), то нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что величина доходов населения выше уровня 3 минимальных зарплат распределена по закону Парето.

Задача 8

Пусть СВ Х имеет следующее распределение:

Найти:

1. Точечные оценки параметров a и k по случайной выборке по методу максимального правдоподобия

2. Точечные оценки по данной группированной выборке

3. Проверить гипотезу : Х имеет данное распределение (при  =0,05).

Решение

1. Найдем формулу связи между параметрами, используя основное свойство функции плотности:

Используем метод максимального правдоподобия:

• (Х1,Х2,…Хn) – случайная выборка. Составим функцию правдоподобия:

• Необходимое условие экстремума:

• Для дальнейших вычислений нам понадобится функция распределения F(x)=