Глава 2. Нормальная случайная величина

§ 1. Основные понятия и формулы

Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону (распределение Гаусса), если ее плотность распределения вероятности имеет вид (для х(-; )):

f_x(x)=

Для краткости данный закон записывают так: X  N (m, ). Распределение Гаусса имеет два параметра: m и . Причем, известно, что:

m = m_x (M [X]) – это математическое ожидание СВ X;
 = _x(_x=√D_x ; ^= D_x) – это среднеквадратичное отклонение СВ Х, а D_x– это дисперсия СВ Х.

Определение 1.2. Нормальная случайная величина называется стандартизированной, если Х  N(0;1).

Замечание: Если Х  N (m, ), то случайная величина U = (Х-m)/ будет стандартизированной нормальной величиной, т.к.

M [U] = M [(X-m)/] = (1/)*(M[X]-m) = 0 (по свойствам математического ожидания);
D [U] = D [(X-m)/] = (1/²)*D[X] = (1/²)*²= 1 (по свойствам дисперсии СВ Х).

В таблицах приведены значения функции плотности стандартизированной СВ:

φ =

Замечание:

φ(х)*dx = 1 (Площадь под графиком равна 1);

φ(-х) = φ(х).

Как найти значение f (x), если Х  N (m, ), где m и  известны:

Во-первых, f(x) = , т.е сначала надо найти x₀= (x-m)/
Затем по таблице необходимо найти φ (x₀)
Наконец, вычислить значение f(x) = .

Ф ункцией распределения случайной величины Х называется функция, заданная на всей числовой оси и в каждой точке х её значения равны вероятности попадания в интервал слева от х.

Основные свойства:

D (F) = (-∞;∞)
E (F) = (0;1) или [0;1]: lim F (x) = 0 (при х (-∞)); lim F (x) = 1 (при х ∞)
Неубывающая функция: Если х₁> x₂, то F (х₁) >= F (x₂)
Если Х – непрерывная СВ, то F (x) – непрерывная функция; если Х – дискретная СВ, то F (x) – кусочно-постоянная функция (разрыв слева).

Эскиз графика функции распределения дискретной СВ

Связь между функцией плотности f (x) и функцией распределения F (x):

F (x) =

f (x) = F ^′(x)

P {α < X < β} = =F (b) – F (a) - вероятность попадания в интервал [α;β]

Чтобы найти значение F (x) в любой точке вводят специальную функцию Лапласа, значения которой приведены в таблице. В разных таблицах можно встретить два варианта выражения функции Лапласа:

Ф (х) =