Решение задачи (метод моментов Пирсона)

Шаг 1:

Шаг 2:

Шаг3: Составляем уравнение :

Ответ:

Дополнительный вопрос:

Найти:

• 

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия по данной выборке

Шаг 2: Необходимое условие экстремума

Результаты оценок совпадают.

Задача 11

Используем основное свойство функции плотности и покажем связь между параметрами a и b (k известно):

Найдем математическое ожидание:

K=1
K=2
K=3

Пример

По данной выборке: оценить параметры a и b и найти P{2<X<4}(k=3 и a→1/2a

	1	2	3	4	5
	1	1	2	5	6

Замечание: Попробуйте самостоятельно для данного примера вывести все необходимые формулы, т.е. связь между a и b, а также M[X].

Решение задачи (метод моментов Пирсона)

Шаг 1:

Шаг 2:

Шаг3: Составляем уравнение :

4

2

Метод максимального правдоподобия в данном примере не подходит (проверить самостоятельно)

Задача 12 (Распределение Релея с параметром σ (σ>0))

Ф ункция плотности:

Ф ункция распределения:

Математическое ожидание равно: M[X]=

Опыт: Проводится стрельба по плоской мишени в неизменных условиях. Х – расстояние от точки попадания до центра мишени подчиняется закону Релея

σ>0 – параметр распределения

Пример:

Найти по данной выборке оценить параметр a и найти P{X<1}

	0,1	0,5	1	1,5	2
	1	2	3	2	2

Заметим, что имеем распределение Релея метод моментов.

Решение задачи (метод моментов Пирсона)

Шаг 1:

Шаг 2:

M[X]=

Шаг3: Составляем уравнение : → 1,11= → →

P{x<1}=F(1)=

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия по данной выборке

L(a)=

A=const

lnL(a)= [ищем max]

Шаг 2: Необходимое условие экстремума

Результаты оценок совпадают.

Задача 13 (Распределение Кэптейна)

f(x)= (σ известна)

Проверьте самостоятельно, что по методу максимального правдоподобия по случайной выборке оценка параметра вычисляется по формуле:

Пример : f(x)=

Заметим, что

Используя метод максимального правдоподобия, найти точечную оценку параметра (n=10)

	-2	-1	0	1	2
	2	3	2	2	1
g( )	-38/3	-16/3	0	16/3	38/3

Сначала найдем оценку по известной формуле