Глава 3. Точечные оценки неизвестных параметров

§ 1. Основные методы нахождения оценок неизвестных параметров

Постановка задачи

Пусть Х - генеральная совокупность. Закон распределения известен, но содержит неизвестные параметры . Пусть имеем выборку объема «n» ( ). Необходимо найти приближенные значения параметров.

Замечание

Если выборка случайная, то точечные оценки параметров – это случайные величины . Если выборка фиксированная, то получим числовые значения

Рассмотрим два основных метода для получения оценок

§ 1.1 Метод моментов Пирсона

Шаг 1

По выборке находим моменты:

Шаг 2

Находим теоретические начальные моменты _k, используя задание генеральной совокупности Х.

Шаг 3

Составляем систему уравнений (если k=1, то решаем одно уравнение)

Решение этой системы - точечные оценки соответствующихрпараметров.

§ 1.2. Метод максимального правдоподобия Фишера

Шаг 1

Составляем функцию правдоподобия, которая равна вероятности того, что компоненты выборочной совокупности примут фиксированные значения ( ).

• Дискретный случай:

• Непрерывный случай:

Метод максимального правдоподобия (МП оценка) состоит в том, что в качестве оценок неизвестных параметров принимаются такие значения , при которых функция правдоподобия принимает максимальное значение, т.е. вероятность появления данной выборки будет максимальной.

Шаг 2

Необходимое условие экстремума:

Пусть ( ) – решение системы

Шаг 3

Достаточное условие экстремума

Дифференциал k-го порядка должен быть меньше нуля :

§ 2. Решение типовых задач

Задача №1

Дискретная СВ Х имеет распределение (при n=50):

	-1	0	2	4
	2a	a	b	1-3a-b
	15	10	20	5

Решение задачи (метод моментов)

Шаг 1:

Шаг 2:

Шаг 3: Составляем систему уравнений

(Домножим первое уравнение на -6 и сложим оба уравнения

Ответ:

	-1	0	2	4
	0,32	0,16	0,43	0,09

Дополнительный вопрос:

Найти:

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия

Шаг 2: Необходимое условие экстремума

Вычтем из первого уравнения второе и найдем значение а:

*Шаг 3: Достаточное условие (в данном случае можно опустить, т.к. значения практически совпали с значениями, полученными с помощью предыдущего метода).

Задача 2 (биномиальное распределение)

В телевизионной игре «Поле чудес» ведущий предлагает две шкатулки после правильно угаданных трех букв (в одной из этих шкатулок – деньги). Один из телезрителей вел статистические записи 20 игр (n=20). В каждой игре три тройки (m=3). Обозначим А - угадана шкатулка с деньгами. Р(А)=р (р – неизвестный параметр). Х – число выигрышных шкатулок в одной игре. Найти оценку параметра р.

	0	1	2	3
	6	9	4	1