Глава 6. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности (критерий согласия)

§1. Схема применения критерия согласия

Постановка задачи

Пусть на основе выборки делается предположение о законе распределения генеральной совокупности Х. (например: биномиальное, Пуассона, равномерное, показательное, нормальное и т.п.)

: Х имеет распределение F(x)

: Конкурирующая гипотеза

Общая схема применения критерия согласия следующая:

• Выбирается некоторая неотрицательная мера отклонения эмпирического (опытного) закона распределения от теоретического: - это случайная величина.

• Пусть и найдем значение такое, что

• Решающее правило будет следующим: Если для данной выборки D> , то отвергаем; если D< , то опытные данные согласуются с гипотезой ( - порог испытаний – критическая точка -,  - уровень значимости

Различие критериев объясняется различным выбором меры . Например:

• 

• и др.

Рассмотрим наиболее обоснованный и наиболее часто используемый на практике – критерий Пирсона (1900 г.) для случая, когда параметры распределения известны. Этот критерий был уточнён Р. Фишером (1924 г.), когда параметры распределения неизвестны и определены по выборке.

Схема проверки критерия

Пусть F(x) – теоретическая функция распределения генеральной совокупности Х ( ).

1. 	X1	X2		Xi		Xk
   	N1	N2		Ni		Nk
   	P1	P2		Pi		Pk

2. Для непрерывной случайной величины Х множество значений разбиваем на «k» непересекающихся интервалов и вычисляем вероятности попадания Х в каждый интервал

- частоты попадания в интервал

Если гипотеза справедлива, то относительные частоты при большом объеме выборки близки к : .

В качестве меры отклонения Пирсон предложил случайную величину: - эта случайная величина имеет распределение .

Распределение , где r – число степеней свободы

О числе степеней свободы r

Аргументами статистики являются частоты n1,n2,…n_k (n1+n2+…+n_k=n). По теореме Пирсона число степеней свободы (в случае, когда все параметры распределения известны) равно r=k-1. Однако Фишер в своей теореме доказал, что если l - это число неизвестных параметров, то случайная величина имеет число степеней свободы r=k-1-l (число степеней свободы уменьшается, т.к. на частоты накладываются дополнительные условия).

Правило проверки гипотезы по

1. Выбираем уровень значимости 

2. Порог испытаний(критическая точка) равен (квантиль распределения ), где r=k-1-l

3. Вычисляем теоретические вероятности

4. Находим частоты

5. Составляем таблицу

№	 границы интервала (или )			n (теор. частоты)
1
2
…
k

6. Критерий принятия решения:

• Если , то отвергаем;

• Если , то принимаем на уровне значимости 

Замечание

Если в каких-то интервалах , то следует объединить соседние интервалы. Пояснение: - имеет близкое к нормальному распределение, но только в том случае, если . - Распределение