Пусть дана группированная выборка:
№ |
Границы интервалов |
- середины интервалов |
lnzi |
( |
1 |
[0;0,2) |
0,1 |
-2,3 |
12 |
2 |
[0,2;0,4) |
0,3 |
-1,2 |
8 |
3 |
[0,4;0,6) |
0,5 |
-0,7 |
5 |
4 |
[0,6;0,8) |
0,7 |
-0,36 |
3 |
6 |
[0,8;1) |
0,9 |
-0,1 |
2 |
)
F(x)
Вычислим теоретические вероятности попадания значений Х в данные интервалы, используя функцию распределения:
Для проверки гипотезу Но о данном распределении, используем критерий и заполним таблицу (=0,05):
№ |
Границы интервалов |
|
|
n |
|
1 |
[-∞;0,2] |
0,324 |
12 |
9,72 |
0,53 |
2 |
[0,2;0,4) |
0,202 |
8 |
6,06 |
0,62 |
3 |
[0,4;0,6) |
0,173 |
5 |
5,19 |
0,006 |
4 |
[0,6;0,8) |
0,156 |
3 |
4,68 |
0,6 |
5 |
[1;∞] |
0,145 |
2 |
4,35 |
1,27 |
|
|
|
|
|
|
Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=5, l(число неизвестных параметров)=1, хотя в условии и было два параметра a и k, они зависят друг от друга, поэтому мы берем только 1 параметр) r=3.
Найдем порог испытания (квантиль распределения ).
С
троим критическую область:
Правило принятия решения: Т.к. (3,026<7,81), то нет оснований отвергнуть гипотезу .
§3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1
Х имеет распределение, заданное таблицей.
Неизвестные параметры
и
.
Точечные оценки:
(n=17).
|
-1 |
0 |
2 |
5 |
|
|
0,38 |
|
|
0,1 |
0,38 |
0,28 |
0,24 |
|
|
3 |
2 |
7 |
5 |
Но: Х – имеет данное распределение. Проверить данную гипотезу на уровне значимости =0,05, используя критерий согласия Пирсона (Ответ: гипотезу отвергаем).
Задача 2
Покупатель предположил, что время пополнения баланса через терминал на телефон распределено в интервале [a;b] равномерно. В течение 85 дней он вел записи о пополнении баланса и составил следующую таблицу.
Интервал в минутах |
Число пополнений (ni) |
[0;1) |
23 |
[1;2) |
21 |
[2;3) |
22 |
[3;4) |
19 |
П
роверить
гипотезу о равномерном распределении
(при =0,05)
:
(Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу ).
Задача 3
Срок работы вычислительной техники подчиняется показательному закону распределения с параметром . Для нахождения точечной оценки параметра была составлена группированная выборка ( - число работающих приборов в течении 15 месяцев). N=105.
№ |
Границы интервалов |
- середины интервалов |
|
1 |
[0;3) |
1,5 |
40 |
2 |
[3;6) |
4,5 |
35 |
3 |
[6;9) |
7,5 |
15 |
4 |
[9;12) |
10,5 |
10 |
5 |
[12;15] |
13,5 |
5 |
Используйте метод моментов для нахождения
точечной оценки .
Затем проверьте гипотезу
о показательном распределении СВ Х при
доверительной вероятности =0,05
(Ответ:
,
нет оснований отвергнуть гипотезу Но).
Задача 4
В турфирме должны проверить документы 50 человек для подачи их в консульство. Х – число возможных ошибок в документе имеет распределение Пуассона с неизвестным параметром . После проверки была составлена сводная статистическая таблица ( - количество ошибок в одном пакете). , для n=50.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
22 |
30 |
25 |
15 |
5 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Была получена точечная оценка параметра
:
(
- количество ошибок в одном пакете) при
n=100 (неизвестен один
параметр, т.е. l=1).
: на уровне значимости =0,01 проверить гипотезу о том, что Х – имеет распределение Пуассона (Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу ).
Задача 5
Проводилось исследование величины доходов Х в металлургической промышленности выше фиксированного уровня xo =1,5(минимальная заработная плата).
Была сделана выборка объема n=20 и составлена группированная выборка. Выдвигается гипотеза : Х – имеет распределение Парето.
Т.к. параметр неизвестен, то необходимо найти точечную оценку, используя метод моментов. На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу . (Ответ: , гипотезу не принимаем).
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
12 |
8 |
8 |
6 |
4 |
2 |
Задача 6
Три игрока играют в «наперстки» (3 наперстка и 1 шарик). В каждом раунде они по очереди угадывают под каким наперстком шарик. Событие А –шарик найден. Р(А)=р. Была получена оценка (n=40). Но: проверить гипотезу о биномиальном распределении на уровне значимости =0,05 (неизвестен один параметр, т.е. l=1) (Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу ).
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
12 |
18 |
8 |
2 |
|
|
|
|
|
Задача 7
Найти параметры a и b и заполнить таблицу (n=20). Провести проверку гипотезы : Х имеет данное распределение при =0,1 – уровень значимости. (Ответ: a=0,15; b=0,2; гипотезу принимаем).
|
-1 |
0 |
1 |
3 |
|
A+b/2 |
1/5 |
2a |
4/5-3a-b/2 |
|
5 |
4 |
6 |
5 |
Задача 8
Каждую тренировку 3 мальчика (m=3) соревновались в меткости попадания мяча в корзину с 1 раза. Четвертый мальчик вел статистические записи 40 игр (n=40). Событие А – попадание мяча в корзину: Р(А)=р. Х – число попаданий в одной игре. Определите вероятность р и заполните таблицу (используя метод моментов), проверьте гипотезу : Х распределена по закону Бернулли при уровне значимости =0,1(Ответ: р=0,51; принимаем на уровне значимости =0,1).
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
5 |
14 |
16 |
5 |
|
|
|
|
|
Задача 9
В течение года автозавод выпустил 50 крупных партий автозапчастей. Служба проверки качества на этом заводе в течение всего года фиксировала данные о бракованных партиях в статистической таблице. Х – количество бракованных единиц в партии. Определите (распределение Пуассона), проверьте выполнение гипотезы : СВ Х распределена по закону Пуассона на уровне значимости =0,1 (Ответ: =1,1; гипотезу принимаем на уровне значимости =0,1).
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
20 |
17 |
6 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 10
Мальчик предположил, что время ожидания
автобуса распределено равномерно. В
течение 150 дней он вел статистические
записи и составил статистический ряд.
Х – время ожидания автобуса (в часах).
Определите неизвестные параметры
СВ
Х, показать схемы графиков функции
плотности и функции распределения этой
СВ. Проверить гипотезу
:
Х имеет данное распределение на уровне
значимости =0,1
(Ответ:
,
гипотезу
принимаем).
|
1/6 |
2/6 |
3/6 |
4/6 |
5/6 |
|
32 |
29 |
31 |
30 |
28 |
Задача 11
В течение некоторого периода организацией N (сфера обслуживания) было нанято 125 студентов на работу. Время (период) работы студентов подчиняется показательному закону с параметром . По итогам года HR – специалист составил на основе собранных данных статистический ряд, где Х – количество отработанных студентами месяцев (zi – середины интервалов статистического ряда). Необходимо оценить параметр по методу моментов, а также проверить гипотезу : Х имеет данное распределение на уровне значимости =0,1 (Ответ: =0,4; гипотезу принимаем на данном уровне значимости).
|
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
66 |
33 |
14 |
7 |
5 |
Задача 12
Известно, что доход некоторого собственника-предпринимателя, занимающегося довольно рискованным бизнесом подчиняется закону распределения Парето, минимальный (обязательный) доход составляет 5 усл.ед. Чтобы спрогнозировать будущий доход, он обратился к статистической таблице, которую вел в предыдущие последовательные периоды своей деятельности (n=55). X – доход предпринимателя. Определите параметр и изобразите схемы графиков f(x) и F(x), проверьте гипотезу : Х имеет данное распределение на уровне значимости =0,1 (Ответ: *=13,5, гипотезу принимаем на данном уровне значимости).
|
5 |
5,4 |
5,8 |
6,2 |
6,6 |
7 |
|
35 |
14 |
3 |
2 |
1 |
1 |
Задача 13
Было проведено исследование величины стоимости товара по стране, цена которого выше 10 тысяч рублей. Была сделана выборка из 30 городов. Х – стоимость товара в определенном городе. Выдвигается гипотеза : СВ Х распределена по закону Парето с параметром . По данной выборке необходимо оценить параметр (метод моментов), и проверить выполнение гипотезы на уровне значимости =0,05 (Ответ: *=3, гипотезу принимаем на уровне значимости =0,05).
№ |
Границы интервалов |
- середины интервалов |
|
1 |
[10;12,5) |
11,25 |
10 |
2 |
[12,5;15) |
13,75 |
5 |
3 |
[15;17,5) |
16,25 |
9 |
4 |
[17,5;20) |
18,75 |
3 |
5 |
[20;22,5] |
21,25 |
2 |
6 |
[22,5;25] |
23,75 |
1 |
Задача 14
Х имеет распределение, заданное таблицей.
Неизвестные параметры
и
.
Точечные оценки:
(n=20).
|
0 |
4 |
6 |
10 |
|
|
0,1 |
|
|
0,4 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
|
|
8 |
2 |
4 |
6 |
: Х – имеет данное распределение. Проверить данную гипотезу на уровне значимости =0,05, используя критерий согласия Пирсона (Ответ: гипотезу принимаем).
Задача 15
Абитуриент сдает экзамены в 10 ВУЗов. В каждый ВУЗ он сдает по 3 экзамена. Событие А – сданный экзамен (р(А)=0,5=р), Х – число сданных экзаменов. Необходимо проверить выполнение следующую гипотезу : СВ Х распределена по биномиальному закону на уровне значимости =0,05 (Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу на данном уровне значимости).
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
2 |
2 |
3 |
Задача 16
Секретарь проверяет 200 пакетов документов от поставщиков. Х – число возможных ошибок в пакете имеет распределение Пуассона с неизвестным параметром . После проверки была составлена сводная статистическая таблица ( - количество ошибок в одном пакете). , для n=200.
-
0
1
2
3
4
50
75
50
15
10
Была получена точечная оценка параметра
:
(
- количество ошибок в одном пакете) при
n=200 (неизвестен один
параметр, т.е. l=1).
: на уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что Х – имеет распределение Пуассона (Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу ).
Задача 17
Время, в течение которого работники организации досконально помнят содержание должностной инструкции, подчиняется показательному закону с параметром . В течение нескольких месяцев тестировали 30 работников. Для нахождения точечной оценки параметра была составлена статистическая таблица ( - число работников, которые помнят содержание должностной инструкции). N=30.
№ |
Границы интервалов |
|
1 |
[0;0,2) |
5 |
2 |
[0,2;0,4) |
6 |
3 |
[0,4;0,6) |
10 |
4 |
[0,6;0,8) |
2 |
5 |
[0,8;1,0] |
1 |
6 |
[1,0;1,2] |
4 |
7 |
[1,2;1,4] |
2 |
Точечная оценка параметра =0,79. Необходимо проверить гипотезу о показательном распределении СВ Х при доверительной вероятности =0,05.
Задача 18
Известно, что заработная плата некоторого работника подчиняется закону распределения Парето. Минимальная заработная плата составляет 4 тысячи рублей. Для определения попадания заработной платы в интервал от 4 до 12 тысяч была составлена статистическая таблица, по которой найдена точечная оценка параметра распределения *=1,76. Необходимо проверить выполнение гипотезы на уровне значимости =0,05: Х – заработная плата подчиняется закону Парето (Ответ: гипотезу отвергаем на данном уровне значимости).
|
4 |
7 |
9 |
12 |
16 |
|
6 |
3 |
4 |
2 |
5 |
Задача 19
Наблюдалось следующее распределение по минутам числа появлений охранника в дверях ювелирного магазина, имеющего по должностной инструкции 6-минутный интервал появления. Проверить гипотезу о равномерном распределении на основании данной выборки, уровень значимости =0,05.
:
Интервал в минутах |
ni |
[0;1) |
28 |
[1;2) |
25 |
[2;3) |
30 |
[3;4) |
29 |
[4;5) |
32 |
[5;6) |
26 |
(Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу ).
Задача 20
Время обслуживания продавцом покупателя
в бакалейной лавке – это случайная
величина Х. Выдвигается гипотеза
:
.
Для нахождения точечной оценки параметра
была составлена
группированная выборка (
- число продавцов). N=30.
№ |
Границы интервалов |
- середины интервалов |
|
1 |
[0;0,5) |
0,25 |
8 |
2 |
[0,5;1) |
0,75 |
8 |
3 |
[1;1,5) |
1,25 |
6 |
4 |
[1,5;2) |
1,75 |
4 |
5 |
[2;2,5) |
2,25 |
3 |
6 |
[2,5;3) |
2,75 |
1 |
Используйте метод моментов для нахождения
точечной оценки .
Затем проверьте гипотезу
о показательном распределении СВ Х при
доверительной вероятности =0,05
(Ответ:
,
нет оснований отвергнуть гипотезу
).
Задача 21
Х имеет распределение, заданное таблицей.
Неизвестные параметры
и
.
Точечные оценки:
(n=24).
|
-2 |
1 |
3 |
5 |
|
|
0,2 |
|
|
0,25 |
0,2 |
0,3 |
0,25 |
|
|
6 |
5 |
7 |
6 |
: Х – имеет данное распределение. Проверить данную гипотезу на уровне значимости =0,1, используя критерий согласия Пирсона (Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу ).
Задача 22
В мешке 60 шаров трех цветов (синий/белый/красный). Фокусник может вытащить только 1 шар. Можно ли утверждать, что фокусник, тренируйся, с равной вероятностью вытащит шар любого цвета, т.е. необходимо проверить гипотезу : СВ Х (тип шара) – распределена по дискретному равномерному закону на уровне значимости =0,1 (Ответ: гипотезу принимаем на данном уровне значимости).
№ |
|
|
|
1 |
Белый шар |
1/3 |
24 |
2 |
Синий шар |
1/3 |
15 |
3 |
Красный шар |
1/3 |
21 |
Задача 23
Время ожидания своей очереди на подключение к Интернету – это СВ Х. В течение нескольких месяцев работники компании, предоставляющей услуги по подключению, составляли статистику по клиентам. Была составлена следующая группированная выборка:
№ |
Границы интервалов |
- середины интервалов |
|
1 |
[0;0;1) |
0,05 |
18 |
2 |
[0;1;0;2) |
0,15 |
10 |
3 |
[0;2;0;3) |
0.25 |
8 |
4 |
[0;3;0;4) |
0,35 |
6 |
5 |
[0;4;0;5] |
0,45 |
4 |
7 |
[0;5;0;6) |
0,55 |
2 |
8 |
[0;6;0;7] |
0,65 |
2 |
Выдвигается гипотеза: : .
Т.к. параметр неизвестен, то необходимо найти его точечную оценку по методу моментов, а затем проверить выполнение гипотезы на уровне значимости =0,05 (Ответ: *=4,67, гипотезу принимаем).
Задача 24
Комиссия по проверке качества на заводе по сборке швейных машинок должна проверить 50 машинок. Х – число возможных неисправностей а одной швейной машинке имеет распределение Пуассона с неизвестным параметром . После проверки была составлена сводная статистическая таблица ( - количество неисправностей в одной машинке). , для n=50.
-
0
1
2
3
4
5
12
15
10
7
4
2
Была получена точечная оценка параметра : при n=50 (неизвестен один параметр, т.е. l=1).
: на уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что Х – имеет распределение Пуассона (Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу ).
Глава 7. Методический материал для написания эссе
§1. Методические рекомендации по написанию эссе
Задача 1: Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий из любых генеральных совокупностей в случае больших выборок
Дано:
-две
генеральные совокупности
-
выборка объема
из
-
выборка объема
из
Пусть вычислены выборочные средние и выборочные дисперсии:
I часть Найти доверительный
интервал для разности математических
ожиданий (
),
если известен уровень значимости
,
т.е.
Решение:
Рассмотрим статистику
,
,
где
-
квантиль порядка
Решаем неравенство:
где
-
найденный доверительный интервал
II часть Проверяем
гипотезу
/
- альтернативная гипотеза
Критерий проверки: если число 0 принадлежит доверительному интервалу, то принимаем на уровне значимости
В противном случае гипотезу о равенстве математических ожиданий отвергаем.
Задача 2 : Проверка гипотезы о равенстве вероятностей двух событий с помощью доверительного интервала при большом объеме выборки
Проводится 2 серии независимых испытаний:
1 серия
испытаний,
"успех" А наблюдали ровно
раз2 серия
испытаний,
"успех" В наблюдали ровно
раза
Обозначим:
-
относительная частота А
-
относительная частота В
Задаем уровень значимости
Проверяем гипотезу:
Альтернативная гипотеза:
Упрощенный критерий проверки
Строим доверительный интервал для
с
доверительной вероятностью
И
спользуем
статистику:
,
где
где
-
доверительный интервал
Упрощенный критерий проверки гипотезы
(
)
на уровне значимости
принимаем. Если
доверительному
интервалу, то
отвергаем.
Более обоснованный критерий проверки
Строим доверительный интервал для разности (
):
Статистика для построения доверительного интервала:
,
где
Решаем неравенство:
Обозначим полученный интервал
Рассмотрим гипотезу , альтернативная гипотеза:
Критерий проверки:
Если число
, то
принимаем
на уровне значимости
.
Если 0 ,
то
отвергаем
на уровне значимости
.
Дополнительно: придумать 2 задачи:
1 Задача: о равенстве математических ожиданий.
2 Задача: о равенстве вероятностей двух событий.
§2. Образец написания эссе
Приложение: (таблица)
-
Страна
Туризм в 2006 - Х
Туризм в 2007 году - У
Италия
245 821
334 113
Испания
246 112
318 639
Украина
511 735
249 051
Греция
198 783
243 958
Таиланд
144 799
232 247
Германия
225 741
231 318
ОАЭ
173 885
207 205
Чешская Республика
136 239
177 955
Болгария
148 266
173 101
Франция
138 625
170 665
Кипр
113 149
150 520
Тунис
93 012
129 749
Польша
169 179
109 046
Хорватия
73 621
100 051
Соединенное Королевство
60 718
79 231
Австрия
53 429
76 972
Литва
44 640
63 769
Швейцария
44 400
57 639
Индия
39 598
53 251
Израиль
23 657
45 314
Нидерланды
23 992
32 965
Соединенные Штаты
25 202
32 800
Корея, Республика
28 911
32 573
Латвия
32 930
31 951
Эстония
71 088
27 002
Катар
18 264
26 712
Вьетнам
15 158
25 691
Япония
23 328
25 294
Венгрия
21 146
21 978
Казахстан
51 849
21 187
Сингапур
12 345
20 641
Норвегия
17 659
18 912
Мальдивская Респ.
10 293
18 415
Мальта
15 519
17 725
Куба
15 932
15 726
Дания
13 790
15 494
Швеция
12 314
14 563
Армения
9 590
13 875
Азербайджан
16 013
13 290
Узбекистан
9 400
11 651
Бельгия
8 458
11 572
Иордания
4 932
9 874
Португалия
7 745
9 268
Словения
10 362
9 105
Туркмения
5 812
8 147
Киргизия
4 098
5 719
Индонезия
3 068
4 915
Марокко
3 320
4 320
Канада
3 788
4 318
Доминиканская Респ.
6 485
3 853
Словакия
5 360
3 690
Сирия
3 054
3 658
Румыния
6 376
3 430
Молдова, Респ.
3 422
2 819
Таджикистан
1 886
2 432
Монголия
2 169
2 353
Пакистан
7 529
2 317
Малайзия
2 164
2 234
Шри-Ланка
895
2 036
Мексика
1 789
1 984
Иран
1 189
1 499
Люксембург
780
1 377
Ливан
1 336
1 019
Исландия
389
743
Сейшелы
556
693
Панама
364
597
Оман
707
580
Филиппины
226
576
Мали
510
547
Рыбный промысел
115
304
КНДР
314
301
Ангола
229
240
Алжир
86
126
Кения
56
105
Багамы
116
96
Афганистан
68
60
Гонконг
49
43
Бразилия
9
38
Австралия
508
34
Грузия
7 481
25
Ирландия
422
8
Беларусь
34
7
Ирак
3
2
m=n
I. Проверка гипотезы о равенстве мо из любых гс в случае больших выборок
Когда возникает эта гипотеза
Гипотеза о равенстве математических ожиданий возникает при сравнении экономических показателей: уровня заработной платы, среднего объема выпускаемой продукции (в регионах); в социальной сфере при сравнении социальных факторов: средний возраст, средний уровень обеспеченности жильём.
Пример
В качестве примера рассмотрим сравнение численности туристов, отдыхавших заграницей (в 83 различных странах) в 2006-2007 годах.
Дано
2 выборки из генеральных совокупностей (см. приложение). Пусть выборочные средние и выборочные дисперсии вычислены и равны:
Уровень значимости =0,1.
Найдем доверительный интервал для
разности математических ожиданий
(M[X]-M[Y]), т.е.
Решение
Рассмотрим статистику:
Проверим гипотезу:
K=0 доверительному интервалу, а это значит, что гипотезу принимаем на уровне значимости =0,1.
Вывод по исследованию:
При сравнении численности туристов, выезжающих заграницу в 2006/2007 году, большой разницы не выявлено.
II. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей двух событий с помощью доверительного интервала при большом объеме выборки
Применим метод построения доверительных интервалов для проверки статистической гипотезы о равенстве вероятностей двух событий.
Пример
(гипотезу проверим по упрощенному критерию, а затем – по более обоснованному). В сети кинотеатров провели опрос 1500 посетителей, с целью выяснить, какова доля студентов в общем количестве посетивших кинотеатр. В результате установили, что доля студентов составляет 70% от всех посетителей. После внедрения специальной системы скидок для студентов, а также проведения рекламной компании, опрос повторили, и доля студентов увеличилась на 5 % (стала равной 75%). Хотелось бы выяснить, увеличилась ли реально доля студентов, посещающих кинотеатр, или осталась прежней, а разницу в числах можно объяснить естественным разбросом данных.
Решение
Событие А – респондент при первом опросе оказался студентом.
Событие B – респондент при втором опросе оказался студентом.
Р{A}=0,55; P{B}=0,6
Проверяем гипотезу:
Зададим уровень значимости =0,05.
Проверим гипотезу по упрощенному критерию
Строим доверительный интервал для р(А) с доверительной вероятностью =1-=0,95. Используем статистику:
Проверим гипотезу по более обоснованному критерию
Строим доверительный интервал для разности (р(А)-р(В))
Рассмотрим гипотезу : р(А)=р(В); Н1: р(А)р(В) – альтернативная гипотеза
Критерий проверки: k=0 , а в нашем случае k=0 на уровне значимости =0,05 не принимаем.
Вывод:
Проверка показала, что доля студентов, посещающих кинотеатр, выросла после проведения специальных акций.
Глава 8. Приложения
§1. Понятие о квантилях
Пусть Х – это нормальная случайная величина. F(x) = P{Х<x} – функция распределения СВ X. ƒ (x) – функция плотности
Число Xp называется квантилью порядка «P», если Xp – корень уравнения F(x)=P, т.е. P { X < xp }=P. F(Xp)=P
P { χp2 < x < χp1} = P0
F(χp1) - F(χp2) = P0
F(χp1) = P1
F(χp2) = P2
Если в таблице приведены значения функции F(x), то Xp = F-1(P). Есть таблицы квантилей основных распределений норм. распределения Стьюдента, χ2.
Гамма-функция Эйлера
Основные соотношения между квантилями распределений
При k1 ≥ 1 и k2 ≥ 1 :
§2. Основные распределения в статистике
1. Распределение χ2 с «k» степенями свободы
Определение: Распределением χ2
с «k» степенями свободы
называется распределение случайной
величины, обозначаемое χ2(k):
,
где СВ
независимые стандартные нормальные
случайные величины.
Плотность распределения:
Теорема
Пусть χ – генеральная совокупность.
;
–
выборочная
совокупность:
–
выборочное среднее
–
исправленная выборочная дисперсия
Тогда статистики
–
независимые случайные величины, причем
статистика
имеет распределение
,
т.е.
Замечание 1
Если
и
–
независимые случайные величины, имеющие
распределение
с
и
степенями свободы, то их сумма имеет
тоже распределение
с
степенями
свободы
Замечание 2
Распределение
при
больших
с достаточной для практических расчетов
точностью аппроксимируется нормальным
распределением.
2. Распределение Стьюдента с “k” степенями свободы
Пусть
– независимые случайные величины. Тогда
случайная величина
имеет распределение Стьюдента с “k”
степенями свободы (t –
распределение с “k”
степенями свободы); (Стьюдент – псевдоним
английского математика В. Госсета)
Замечание:
Сравнительная таблица
k |
10 |
20 |
30 |
50 |
|
квантили N(0, 1) |
t0,75 |
0,700 |
0,687 |
0,683 |
0,679 |
0,674 |
|
t0,95 |
1,813 |
1,725 |
1,697 |
1,676 |
1,645 |
|
t0,99 |
2,763 |
2,528 |
2,457 |
2,403 |
2,326 |
|
квантили
t-распределение
3. Распределение Фишера с и степенями свободы
Распределением Фишера с
и
степенями свободы называется распределение
случайной величины
,
которая определяется формулой:
, где
и
– независимые случайные величины
Связь между квантилями порядка p и 1-p
Замечание:
Обычно таблицы квантилей составляются
для p ≥ 0,5. Для меньших
p (p
< 0,5) используют формулу
§3. Статистические таблицы
Таблица I. Значения нормированной функции Лапласа
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0.0 |
0.00000 |
00399 |
00798 |
01197 |
01595 |
01994 |
02392 |
02790 |
03188 |
03586 |
0.1 |
03983 |
04380 |
04776 |
05172 |
05567 |
05962 |
06356 |
06749 |
07142 |
07535 |
0.2 |
07926 |
08317 |
08706 |
09095 |
09483 |
09871 |
10257 |
10642 |
11026 |
11409 |
0.3 |
11791 |
12172 |
12552 |
12930 |
13307 |
13683 |
14058 |
14431 |
14803 |
15173 |
0.4 |
15542 |
15910 |
16276 |
16640 |
17003 |
17364 |
17724 |
18082 |
18439 |
18793 |
0.5 |
19146 |
19497 |
19847 |
20194 |
20540 |
20884 |
21226 |
21566 |
21904 |
22240 |
0.6 |
22575 |
22907 |
23237 |
23565 |
23891 |
24215 |
24537 |
24857 |
25175 |
25490 |
0.7 |
25804 |
26115 |
26424 |
26730 |
27035 |
27337 |
27637 |
27935 |
28230 |
28524 |
0.8 |
28814 |
29103 |
29389 |
29673 |
29955 |
30234 |
30511 |
30785 |
31057 |
31327 |
0.9 |
31594 |
31859 |
32121 |
32381 |
32639 |
32894 |
33147 |
33398 |
33646 |
33891 |
1.0 |
34134 |
34375 |
34614 |
34849 |
35083 |
35314 |
35543 |
35769 |
35993 |
36214 |
1.1 |
36433 |
36650 |
36864 |
37076 |
37286 |
37493 |
37698 |
37900 |
38100 |
38298 |
1.2 |
38493 |
38686 |
38877 |
39065 |
39251 |
39435 |
39617 |
39796 |
39973 |
40147 |
1.3 |
40320 |
40490 |
40658 |
40824 |
40988 |
41149 |
41308 |
41466 |
41621 |
41774 |
1.4 |
41924 |
42073 |
42220 |
42364 |
42507 |
42647 |
42785 |
42922 |
43056 |
43189 |
1.5 |
43319 |
43448 |
43574 |
43699 |
43822 |
43943 |
44062 |
44179 |
44295 |
44408 |
1.6 |
44520 |
44630 |
44738 |
44845 |
44950 |
45053 |
45154 |
45254 |
45352 |
45449 |
1.7 |
45543 |
45637 |
45728 |
45818 |
45907 |
45994 |
46080 |
46164 |
46246 |
46327 |
1.8 |
46407 |
46485 |
46562 |
46638 |
46712 |
46784 |
46856 |
46926 |
46995 |
47062 |
1.9 |
47128 |
47193 |
47257 |
47320 |
47381 |
47441 |
47500 |
47558 |
47615 |
47670 |
2.0 |
47725 |
47778 |
47831 |
47882 |
47932 |
47982 |
48030 |
48077 |
48124 |
48169 |
2.1 |
48214 |
48257 |
48300 |
48341 |
48382 |
48422 |
48461 |
48500 |
48537 |
48574 |
2.2 |
48610 |
48645 |
48679 |
48713 |
48745 |
48778 |
48809 |
48840 |
48870 |
48899 |
2.3 |
48928 |
48956 |
48983 |
49010 |
49036 |
49061 |
49086 |
49111 |
49134 |
49158 |
2.4 |
49180 |
49202 |
49224 |
49245 |
49266 |
49286 |
49305 |
49324 |
49343 |
49361 |
2.5 |
49379 |
49396 |
49413 |
49430 |
49446 |
49461 |
49477 |
49492 |
49506 |
49520 |
2.6 |
49534 |
49547 |
49560 |
49573 |
49585 |
49598 |
49609 |
49621 |
49632 |
49643 |
2.7 |
49653 |
49664 |
49674 |
49683 |
49693 |
49702 |
49711 |
49720 |
49728 |
49736 |
2.8 |
49744 |
49752 |
49760 |
49767 |
49774 |
49781 |
49788 |
49795 |
49801 |
49807 |
2.9 |
49813 |
49819 |
49825 |
49831 |
49836 |
49841 |
49846 |
49851 |
49856 |
49861 |
x |
3.0 |
3.5 |
4.0 |
5.0 |
|
0.49865 |
0.49977 |
0.499968 |
0.49999997 |
Таблица II.
Квантили
нормального
распределения N(0;1)
p |
0.90 |
0.95 |
0.975 |
0.99 |
0.995 |
0.999 |
0.9995 |
|
1.282 |
1.645 |
1.960 |
2.326 |
2.576 |
3.090 |
3.291 |
Таблица III.
Квантили
распределения
Стьюдента T(k)
k- число степеней свободы распределения; p – порядок квантили.
k |
0.750 |
0.900 |
0.950 |
0.975 |
0.990 |
0.995 |
0.999 |
1 |
1.000 |
3.078 |
6.314 |
12.706 |
31.821 |
63.657 |
318 |
2 |
0.816 |
1.886 |
2.920 |
4.303 |
6.965 |
9.925 |
22.3 |
3 |
0.765 |
1.638 |
2.353 |
3.182 |
4.541 |
5.841 |
10.2 |
4 |
0.741 |
1.533 |
2.132 |
2.776 |
3.747 |
4.604 |
7.173 |
5 |
0.727 |
1.476 |
2.015 |
2.571 |
3.365 |
4.032 |
5.893 |
6 |
0.718 |
1.440 |
1.943 |
2.447 |
3.143 |
3.707 |
5.208 |
7 |
0.711 |
1.415 |
1.895 |
2.365 |
2.998 |
3.499 |
4.785 |
8 |
0.706 |
1.397 |
1.860 |
2.306 |
2.896 |
3.355 |
4.501 |
9 |
0.703 |
1.383 |
1.833 |
2.262 |
2.821 |
3.250 |
4.297 |
10 |
0.700 |
1.372 |
1.812 |
2.228 |
2.764 |
3.169 |
4.144 |
11 |
0.697 |
1.363 |
1.796 |
2.201 |
2.718 |
3.106 |
4.025 |
12 |
0.695 |
1.356 |
1.782 |
2.179 |
2.681 |
3.055 |
3.930 |
13 |
0.694 |
1.350 |
1.771 |
2.160 |
2.650 |
3.012 |
3.852 |
14 |
0.692 |
1.345 |
1.761 |
2.145 |
2.624 |
2.977 |
3.787 |
15 |
0.691 |
1.341 |
1.753 |
2.131 |
2.602 |
2.947 |
3.733 |
16 |
0.690 |
1.337 |
1.746 |
2.120 |
2.583 |
2.921 |
3.686 |
17 |
0.689 |
1.333 |
1.740 |
2.110 |
2.567 |
2.898 |
3.646 |
18 |
0.688 |
1.330 |
1.734 |
2.101 |
2.552 |
2.878 |
3.610 |
19 |
0.688 |
1.328 |
1.729 |
2.093 |
2.539 |
2.861 |
3.579 |
20 |
0.687 |
1.325 |
1.725 |
2.086 |
2.528 |
2.845 |
3.552 |
21 |
0.686 |
1.323 |
1.721 |
2.080 |
2.518 |
2.831 |
3.527 |
22 |
0.686 |
1.321 |
1.717 |
2.074 |
2.508 |
2.819 |
3.505 |
23 |
0.685 |
1.319 |
1.714 |
2.069 |
2.500 |
2.807 |
3.485 |
24 |
0.685 |
1.318 |
1.711 |
2.064 |
2.492 |
2.797 |
3.467 |
25 |
0.684 |
1.316 |
1.708 |
2.060 |
2.485 |
2.787 |
3.450 |
26 |
0.684 |
1.315 |
1.706 |
2.056 |
2.479 |
2.779 |
3.435 |
27 |
0.684 |
1.314 |
1.703 |
2.052 |
2.473 |
2.771 |
3.421 |
28 |
0.683 |
1.313 |
1.701 |
2.048 |
2.467 |
2.763 |
3.408 |
29 |
0.683 |
1.311 |
1.699 |
2.045 |
2.462 |
2.756 |
3.396 |
30 |
0.683 |
1.310 |
1.697 |
2.042 |
2.457 |
2.750 |
3.385 |
40 |
0.681 |
1.303 |
1.684 |
2.021 |
2.423 |
2.704 |
3.307 |
60 |
0.679 |
1.296 |
1.671 |
2.000 |
2.390 |
2.660 |
3.232 |
120 |
0.677 |
1.289 |
1.658 |
1.980 |
2.358 |
2.617 |
3.160 |
∞ |
0.674 |
1.282 |
1.645 |
1.960 |
2.326 |
2.576 |
3.090 |
p
Таблица IV.
Квантили
распределения
хи-квадрат
k- число степеней свободы распределения; p – порядок квантили
k p |
0.90 |
0.95 |
0.99 |
1 |
2.71 |
3.84 |
6.63 |
2 |
4.61 |
5.99 |
9.21 |
3 |
6.25 |
7.81 |
11.34 |
4 |
7.78 |
9.49 |
13.28 |
5 |
9.24 |
11.07 |
15.09 |
6 |
10.64 |
12.59 |
16.81 |
7 |
12.02 |
14.07 |
18.48 |
8 |
13.36 |
15.51 |
20.09 |
9 |
14.68 |
16.92 |
21.67 |
10 |
15.99 |
18.31 |
23.21 |
11 |
17.28 |
19.68 |
24.72 |
12 |
18.55 |
21.03 |
26.22 |
13 |
19.81 |
22.36 |
27.69 |
14 |
21.06 |
23.68 |
29.14 |
15 |
22.31 |
25.00 |
30.58 |
16 |
23.54 |
26.30 |
32.00 |
17 |
24.77 |
27.59 |
33.41 |
18 |
25.99 |
28.87 |
34.81 |
19 |
27.20 |
30.14 |
36.19 |
20 |
28.41 |
31.14 |
37.57 |
21 |
29.62 |
32.67 |
38.93 |
22 |
30.81 |
33.92 |
40.29 |
23 |
32.01 |
35.17 |
41.64 |
24 |
33.20 |
36.42 |
42.98 |
25 |
34.38 |
37.65 |
44.31 |
26 |
35.56 |
38.89 |
45.64 |
27 |
36.74 |
40.11 |
46.96 |
28 |
37.92 |
41.34 |
48.28 |
29 |
39.09 |
42.56 |
49.59 |
30 |
40.26 |
43.77 |
50.89 |
40 |
51.80 |
55.76 |
63.69 |
50 |
63.17 |
67.50 |
76.15 |
60 |
74.40 |
79.08 |
88.38 |
70 |
85.53 |
90.53 |
100.42 |
80 |
96.58 |
101.88 |
112.33 |
90 |
107.56 |
113.14 |
124.12 |
100 |
118.50 |
124.34 |
135.81 |
Плотность вероятности распределения
хи-квадрат
Таблица V.
Квантили
распределения
Фишера
-
числа степеней свободы распределения;
p – порядок квантили
|
p=0.95 |
||||||||
|
4 |
6 |
12 |
24 |
30 |
40 |
60 |
120 |
∞ |
1 |
224.6 |
234.0 |
244.9 |
249.0 |
250.1 |
251.1 |
252.2 |
253.3 |
254.3 |
2 |
19.2 |
19.3 |
19.4 |
19.5 |
19.5 |
19.5 |
19.5 |
19.5 |
19.5 |
3 |
9.1 |
8.9 |
8.7 |
8.6 |
8.6 |
8.6 |
8.6 |
8.5 |
8.5 |
4 |
6.4 |
6.2 |
5.9 |
5.8 |
5.7 |
5.7 |
5.7 |
5.7 |
5.6 |
5 |
5.2 |
5.0 |
4.7 |
4.5 |
4.5 |
4.5 |
4.4 |
4.4 |
4.4 |
6 |
4.5 |
4.3 |
4.0 |
3.8 |
3.8 |
3.8 |
3.7 |
3.7 |
3.7 |
7 |
4.1 |
3.9 |
3.6 |
3.4 |
3.4 |
3.3 |
3.3 |
3.3 |
3.2 |
8 |
3.8 |
3.6 |
3.3 |
3.1 |
3.1 |
3.0 |
3.0 |
3.0 |
2.9 |
9 |
3.6 |
3.4 |
3.1 |
2.9 |
2.9 |
2.8 |
2.8 |
2.7 |
2.7 |
10 |
3.5 |
3.2 |
2.9 |
2.7 |
2.7 |
2.7 |
2.6 |
2.6 |
2.5 |
11 |
3.4 |
3.1 |
2.8 |
2.6 |
2.6 |
2.5 |
2.5 |
2.4 |
2.4 |
12 |
3.3 |
3.0 |
2.7 |
2.5 |
2.5 |
2.4 |
2.4 |
2.3 |
2.3 |
13 |
3.2 |
2.9 |
2.6 |
2.4 |
2.4 |
2.3 |
2.3 |
2.3 |
2.2 |
14 |
3.1 |
2.8 |
2.5 |
2.3 |
2.3 |
2.3 |
2.2 |
2.2 |
2.1 |
15 |
3.1 |
2.8 |
2.5 |
2.3 |
2.2 |
2.2 |
2.2 |
2.1 |
2.1 |
16 |
3.0 |
2.7 |
2.4 |
2.2 |
2.2 |
2.2 |
2.1 |
2.1 |
2.0 |
17 |
3.0 |
2.7 |
2.4 |
2.2 |
2.1 |
2.1 |
2.1 |
2.0 |
2.0 |
18 |
2.9 |
2.7 |
2.3 |
2.1 |
2.1 |
2.1 |
2.1 |
2.0 |
1.9 |
19 |
2.9 |
2.6 |
2.3 |
2.1 |
2.1 |
2.0 |
2.0 |
1.9 |
1.9 |
20 |
2.9 |
2.6 |
2.3 |
2.1 |
2.0 |
2.0 |
1.9 |
1.9 |
1.8 |
22 |
2.8 |
2.5 |
2.2 |
2.0 |
2.0 |
1.9 |
1.9 |
1.8 |
1.8 |
24 |
2.8 |
2.5 |
2.2 |
2.0 |
1.9 |
1.9 |
1.8 |
1.8 |
1.7 |
26 |
2.7 |
2.5 |
2.1 |
1.9 |
1.9 |
1.9 |
1.8 |
1.7 |
1.7 |
28 |
2.7 |
2.4 |
2.1 |
1.9 |
1.9 |
1.8 |
1.8 |
1.7 |
1.7 |
30 |
2.7 |
2.4 |
2.1 |
1.9 |
1.8 |
1.8 |
1.7 |
1.7 |
1.6 |
40 |
2.6 |
2.3 |
2.0 |
1.8 |
1.7 |
1.7 |
1.6 |
1.6 |
1.5 |
60 |
2.5 |
2.3 |
1.9 |
1.7 |
1.6 |
1.6 |
1.5 |
1.5 |
1.4 |
120 |
2.4 |
2.2 |
1.8 |
1.6 |
1.6 |
1.5 |
1.4 |
1.4 |
1.3 |
∞ |
2.4 |
2.1 |
1.8 |
1.5 |
1.5 |
1.4 |
1.3 |
1.2 |
1.0 |
Плотность вероятности распределения Фишера :
Таблица VI. Равномерно распределенные случайные числа
98 52 01 77 67 14 90 56 86 07 22 10 94 05 58 60 97 09 34 33 50 50 07 39 98
11 80 50 54 31 39 80 82 77 32 50 72 56 82 48 29 40 52 42 01 52 77 56 78 51
83 45 29 96 34 06 28 89 80 83 13 74 67 00 78 18 47 54 06 10 68 71 17 78 17
88 68 54 02 00 86 50 75 84 01 36 76 66 79 51 90 36 47 64 93 29 60 91 10 62
99 59 46 73 48 87 51 76 49 69 91 82 60 89 28 93 78 56 13 68 23 47 83 41 13
65 48 11 76 74 17 46 85 09 50 58 04 77 69 74 73 03 95 71 86 40 21 81 65 44
80 12 43 56 35 17 72 70 80 15 45 31 82 23 74 21 11 57 82 53 14 38 55 37 63
74 35 09 98 17 77 40 27 72 14 43 23 60 02 10 45 52 16 42 37 96 28 60 26 55
69 91 62 68 03 66 25 22 91 48 36 93 68 72 03 76 62 11 39 90 94 40 05 64 18
09 89 32 05 05 14 22 56 85 14 46 42 75 67 88 96 29 77 88 22 54 38 21 45 98
91 49 91 45 23 68 47 92 76 86 46 16 28 35 54 94 75 08 99 23 37 08 92 00 48
80 33 69 45 98 26 94 03 68 58 70 29 73 41 35 53 14 03 33 40 42 05 08 23 41
44 10 48 19 49 85 15 74 79 54 32 97 92 65 75 57 60 04 08 81 22 22 20 64 13
12 55 07 37 42 11 10 00 20 40 12 86 07 46 97 96 64 48 94 39 28 70 72 53 15
63 60 64 93 29 16 50 53 44 84 40 21 95 25 63 43 65 17 70 82 07 20 73 17 90
61 19 69 04 46 26 45 74 77 74 51 92 43 37 29 65 39 45 95 93 42 58 26 05 27
15 47 44 52 66 95 27 07 99 53 59 36 78 38 48 82 39 61 01 18 33 21 15 94 66
94 55 72 85 73 67 89 75 43 87 54 62 24 44 31 91 19 04 25 92 92 92 74 59 73
42 48 11 62 13 97 34 40 87 21 16 86 84 87 67 03 07 11 20 59 25 70 14 66 70
23 52 37 83 17 73 20 88 98 37 68 93 59 14 16 26 25 22 96 63 05 52 28 25 62
04 49 35 24 94 75 24 63 38 24 45 86 25 10 25 61 96 27 93 35 65 33 71 24 72
00 54 99 76 54 64 05 18 81 59 96 11 96 38 96 54 69 28 23 91 23 28 72 95 29
35 96 31 53 07 26 89 80 93 54 33 35 13 54 62 77 97 45 00 24 90 10 33 93 33
59 80 80 83 91 45 42 72 68 42 83 60 94 97 00 13 02 12 48 92 78 56 52 01 06
46 05 88 52 36 01 39 09 22 86 77 28 14 40 77 93 91 08 36 47 70 61 74 29 41
32 17 90 05 97 87 37 92 52 41 05 56 70 70 07 86 74 31 71 57 85 39 41 18 38
69 23 46 14 06 20 11 74 52 04 15 95 66 00 00 18 74 39 24 23 97 11 89 63 35
19 56 54 14 30 01 75 87 53 79 40 41 92 15 85 66 67 43 68 06 84 96 28 52 07
45 15 51 49 38 19 47 60 72 46 43 66 79 45 43 59 04 79 00 33 20 82 66 95 41
94 86 43 19 94 36 16 81 08 51 34 88 88 15 53 01 54 03 54 56 05 01 45 11 76
98 08 62 48 26 45 24 02 84 04 44 99 90 88 96 39 09 47 34 07 35 44 13 18 80
33 18 51 62 32 41 94 15 09 49 89 43 54 85 81 88 69 54 19 94 37 54 87 30 43
80 95 10 04 06 96 38 27 07 74 20 15 12 33 87 25 01 62 52 98 94 62 46 11 71
79 75 24 91 40 71 96 12 82 96 69 86 10 25 91 74 85 22 05 39 00 38 75 95 79
18 63 33 25 37 98 14 50 65 71 31 01 02 46 74 05 45 56 14 27 77 93 89 19 36
74 02 94 39 02 77 55 73 22 70 97 79 01 71 19 52 52 75 80 21 80 81 45 17 48
54 17 84 58 11 80 99 33 71 43 05 33 51 29 69 56 12 71 92 55 36 04 09 03 24
11 66 44 98 83 52 07 98 48 27 59 38 17 15 39 09 97 33 34 40 88 46 12 33 56
48 32 47 79 28 31 24 66 47 10 02 29 53 68 70 32 30 75 75 46 25 02 00 99 94
69 07 49 41 38 87 63 79 19 76 35 58 40 44 01 10 51 82 16 15 01 84 87 69 38