§2. Решение типовых задач

З адача 1 (проверка гипотезы о численном значении m при известном )

Задача 2 (проверка гипотезы о численном значении m при неизвестном )

Задача 3 (проверка гипотезы о численном значении при известном m)

ОПР

Задача 4 (проверка гипотезы о численном значении при неизвестном m)

ОПР

ОПР

Задача 5 (проверка гипотезы о численном значении параметра “p”в распределении Бернулли)

Событие А в серии n испытаний появлялось “m” раз. Известно, что его относительная частота равна . Р(А)=р – неизвестно. Задан уровень значимости .

Задача 6 (проверка гипотезы о численном значении  в распределении Пуассона)

Задача 7

Магазин хочет закупить большую партию мобильных телефонов. Поставщик данной фирмы утверждает, что доля бракованных телефонов составляет 5%. По некоторым «разведанным» данным директор предполагает, что доля дефектных телефонов составит 10%. Между поставщиком и магазином было составлено следующее соглашение: случайным образом отбирают и проверяют 10 телефонов. Магазин закупит партию, если при проверке будет обнаружено не более одного бракованного телефона, в противном случае цена закупки будет снижена, либо партия не будет закуплена.

Вопросы:

1. Сформулируйте эту задачу в терминах теории проверки статистических гипотез.

2. Какова статистика критерия, область значений, критическая область, какое распределение этой статистики?

3. В чем состоят проверяемая и альтернативная гипотезы?

4. В чем состоят ошибки первого и второго рода и каковы их вероятности

Решение

1. Х- число бракованных телефонов (распределение Бернулли).

   • Событие - телефон бракованный.

   • , - гипотеза поставщика, которую мы проверяем.

   • - гипотеза директора магазина (альтернативная гипотеза).

2. ( )

• - область ограничений статистики Х

• 

	0	1	2	…	k	…		…	10
			…					…

3. Ошибка 1 рода:

Партия закуплена на условиях магазина, в то время, как верно утверждение поставщика.

Это значит, что ( ) и при проверке оказалось более одного бракованного телефона.

Ответ: – вероятность ошибки 1 рода.

4. Ошибка 2 рода:

Партия закуплена магазином на условиях поставщика, в то время, как верно утверждение директора магазина.

Выборочное значение попало в область принятия решений, то есть число бракованных телефонов не превысило одного.

Ответ: =0,736 – вероятность ошибки 2 рода

Задача 8 (самостоятельно)

Проверка функционирования устройства оценивается специальным тестом. Если устройство функционирует правильно, то вероятность прохождения теста равна 0,99; в противном случае вероятность прохождения теста равна 0,4. Устройство допускается к работе, если тест проходит 5 раз подряд. В предположении, что число прохождений теста подчиняется биномиальному распределению, ответить на вопросы:

1. Какова область изменения и критическая область статистики критерия? Какое распределение имеет статистика критерия?

2. Как сформулировать нулевую гипотезу, если ошибка первого рода состоит в отклонении правильно функционирующего устройства?

3. Какова альтернативная гипотеза и в чем состоит ошибка второго рода?

4. Чему равны вероятности ошибок первого и второго рода.

Решение

1. Биномиальное распределение

-тест прошел,

- устройство функционирует правильно,

- устройство функционирует неправильно,

2. Ошибка 2 рода - принятие неправильного функционирующего устройства.

3. 

Ответ:

Задача 8.1

Номинальная стоимость косметического крема составляет 40 у.е. После проверки нескольких магазинов выяснилось, что средняя стоимость составляет Предполагается, что стоимость этой продукции подчиняется нормальному закону, причем Можно ли по результатам выборочного обследования магазинов утверждать, что стоимость крема не имеет положительного смещения по отношению к номинальной стоимости? Принять . Какова критическая область в этом случае?

Решение

1. Рассмотрим статистику

2. 

; m=40;

3. 

4. 

Ответ:

Область – критическая. Значение критической области. Гипотезу на уровне значимости принимаем, т.е. нет положительного смещения по отношению к номинальной стоимости.

Задача 8.2

В условиях предыдущей задачи, партия крема, где номинальная стоимость крема , не будет заказана магазином, если выборочное среднее будет больше Найти вероятности ошибок первого и второго рода при альтернативной гипотезе , если решение принимается по выборке объема .

Решение

1. (крем будет закупаться магазином)

2. Ошибка 1 рода – крем не будут закупать, т.к. выборка показала, что , в то время как верна ( ).

3. Ошибка 2 рода – крем будет закуплен, хотя верна гипотеза ( )

Ответ: