Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия по данной выборке

Ищем max.

Шаг 2: Необходимое условие экстремума

=0  +2a+ + )=0

Задача 14

f(x)=

По методу максимального правдоподобия найти точечные оценки параметров и по случайной выборке.

Замечание: Используем основное свойство функции плотности и покажем связь между параметрами:

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Пусть имеем случайную выборку . Составляем функцию правдоподобия:

Ищем max

ШАГ 2. Необходимое условие extr

Пример:

	0,1	0,3	0,5	0,8
	1	2	3	4
	-2,3	-1,2	-0,69	-0,22

Дана выборка

Найти: P{0,2<x<0,5} - ?

Решение: P{0,2<x<0,5}=F(0,5)-F(0,2)=0,4-0,12=0,28

§ 3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1:

Задайте выборку сами. Найдите: оценку (два способа); P{x<6}

Задача 2

Задайте выборку сами. Найдите: оценку (два способа); P{x≥-8}

Задача 3

Задайте выборку и найдите по методу моментов: оценки и ;P{X }, задайте и

Задача 4

Задайте выборку и найдите по методу моментов: оценки и ;P{X }, задайте и

Задача 5

Задайте выборку и найдите: оценку параметра (два способа); P{x<2}

Задача 6

Задайте выборку и по методу максимального правдоподобия найдите оценку параметра

Задача 7

Задайте выборку и по методу максимального правдоподобия найдите оценку параметра

Задача 8

Задайте выборку и по методу максимального правдоподобия найдите: оценки параметров и ; P{ }

Задача 9

Задайте выборку и по методу максимального правдоподобия найдите: оценки параметров и ; P{X≥0,4}

Задача 10

Пеший курьер предположил, что время ожидания трамвая на остановке подчиняется равномерному закону распределения в интервале [a;b]. В течение 30 дней он вел записи появления трамвая и получил статистический ряд. Х – время ожидания трамвая (в минутах). По данной выборке найдите оценки параметров a и b (2 способа), P{X<10}(Ответ: a=0,58; b=18,36; P{X<10}=0,53).

	3	5	7	10	15	20
	4	5	6	7	5	3

Задача 11

Время ожидания своей очереди на подключение к Интернету подчиняется показательному закону с параметром . В течение нескольких месяцев работники компании, предоставляющей услуги по подключению к интернету, составляли статистику подключений по 30 клиентам. Х – время ожидания очереди на подключение. По данной выборке найти оценку параметра  (2 способа), P{X>1}. (Ответ: =1,72; P{X>1}=0,179)

	0,1	0,3	0,7	1	1,3	1,7	2
	18	10	8	6	4	2	1

Задача 12

По данной выборке

	-1	0	1	6
		1/4
	7	5	6	2

Оценить параметры (два способа). (Ответ: )

Задача 13

Менеджер по качеству должен был проверить 50 комплектов деталей для новых автомобилей. Х – СВ (распределение Пуассона), число возможных бракованных деталей в комплекте. После проверки была составлена сводная таблица. По данной выборке найти оценку параметра  (2 способа), P{X<1}. (Ответ: =1,28).

	0	1	2	3
	14	16	12	8

Задача 14

Каждый год в мотозаезде участвует различное количество мотоциклистов. Для того, чтобы организаторы могли подготовить номера участников и узнать, уложатся ли они в интервал от 30 до 40, проанализировали заезды за последние 10 лет. Х – нормальная случайная величина – количество мотоциклистов в заезде. По данной выборке оценить параметры  и m (2 способа), P{30<X<40}.(Ответ: m=34,1; =7,48).

	25	27	35	40	50
	1	3	3	2	1

Задача 15

Известно, что доход некоторого собственника-предпринимателя, занимающегося довольно рискованным бизнесом подчиняется закону Парето (). Min (обязательный доход) составляет 5 у.е. Чтобы определить, попадает ли доход от скорой сделки в пределы [5;13], он обратился к статистической таблице, которую вел в предыдущие последовательные периоды своей деятельности (n=21), Х – доход предпринимателя.

По данной выборке оценить параметр  (метод максимального правдоподобия), изобразить схемы графиков функции плотности и распределения, найти P{5<X<13}. (Ответ: =2; P{5<X<13}=0,85.

	5	6	9	13	20	28
	6	5	4	3	2	1

Задача 16

Известно, что в «сезон» количество посетителей ресторана подчиняется нормальному закону. Чтобы точнее спрогнозировать затраты на предстоящий период и определить будет ли количество посетителей в пределах [90;110], менеджер-собственник ресторана обратился к статистике посещений его ресторана в «сезонное» время за предыдущие 20 последовательных периодов. Х – количество посетителей в «сезон».

По данной выборке оценить параметры  и m (2 способа), P{90<X<110}.(Ответ: m=95,5; =14,9).

	80	85	90	100	110	130
	2	8	2	3	3	2

Задача 17

В течение года некоторой организацией (сфера обслуживания) было нанято 20 студентов на работу. В данной организации имела месть высокая «текучесть» кадров – студенты долго не задерживаются на рабочих местах. Время (период) работы студентов подчиняется показательному закону с параметром . По итогам года HR-специалист составил на основе собранных данных статистический ряд, где Х – период работы студентов( в месяцах).

По данной выборке оценить параметр  (2 способа), P{X>0,5}. (Ответ: =0,72; P{X>0,5}=0,72)

	0,3	0,5	1	1,5	2	3
	1	3	3	5	2	2

Задача 18

Идет честная игра в угадывание числа: от 1 до 5. Один из игроков загадывает число, другой – угадывает его. Третий – фиксирует данные в статистической таблице. Опыты проводятся до 1 угаданного числа. Имеем серию опытов (n=10). Событие А – число угадано. P(A)=p. По данной выборке оценить параметр p (метод моментов), найти P{X<2}. (Ответ: р=0,35; Р{X<2}=0,58).

	1	2	4	5
	3	3	1	3

Задача 19

Сотрудники правоохранительных органов проверяют партию товара на наличие контрабанды дисков. 40 опытов по 5 независимых испытаний проводятся. А- ящик с контрабандой. Р(А)=р. m=5; n=40. (Распределение Бернулли). По данной выборке оценить параметр р (2 метода), найти P{X>1}. (Ответ: р=0,315; Р{X>1}=0,849)

	0	1	2	3	4	5
	10	12	8	6	3	1

Задача 20

(Распределение Бернулли): В непрозрачном пакете находятся шары с четными и нечетными номерами (количество четных номеров соответствует количеству нечетных). Пятнадцать дней подряд (n=15) по три раза в день (m=3) игроку предлагают вытащить из пакета один шар. Если он вытаскивает шар с четным номером, то получает определенную денежную сумму. Если с нечетным, то не получает ничего. А – игрок вытянул четный номер. Оценить р(А)=р (2 метода), а также найдите и P{x1} (Ответ: р=0,4; р{x1}=0,648; =1).

	0	1	2	3
	4	6	3	2

Задача 21

Имеется 5 карточек с различными символами. Во время каждого опыта игрок перемешивает карточки и произвольным образом вытаскивает одну. Опыты проводятся до первого появления карточки с символом «+». Всего запланировано 10 серий (n=10). X – число опытов. А – выпадение символа «+». Оценить р{A}=р (2 метода). Найти р{x>4}. (Ответ: р=5/28; р{x>4}=0,88).

	3	4	5	6	7	11
	3	1	1	1	3	1

Задача 22

Известно, что доход сотрудника страховой компании подчиняется нормальному закону распределения Парето. Минимальный доход равен 150 у.е. Чтобы определить, окажется ли доход от сделки с перспективным клиентом в пределах от 150 до 210 у.е., сотрудник использовал статистическую таблицу, которая была составлена по данным его работы в компании на основании 20 сделок. Х – доход сотрудника. Оцените параметр  (метод максимального правдоподобия), найдите Р{150<X<210}. (Ответ: =0, 194; Р{150<X<210}=0,936)

	150	165	175	190	210	220
	5	3	7	2	3	1

Задача 23

В течение определенного времени в рекрутинговой компании ведется статистика: сколько времени уходит у сотрудников компании на поиск работодателя для клиента. Период (время) поиска работы подчинялось показательному закону с параметром . По итогам работы с 20 клиентами был составлен статистический ряд. Х - время поиска работы для 1 клиента (в неделях). Оцените параметр  (2 метода) и найдите Р{X<1,4}. (Ответ: =0,599; Р{X<1,4}=0,43).

	1	1,2	1,4	1,8	2	2,2
	1	3	3	9	2	2

Задача 24

Известно, что количество людей, посетивших круглосуточный книжный магазин в ночное время, подчиняется нормальному закону. Для того, чтобы оптимизировать расписание работы персонала, руководство вело наблюдение посещаемости магазина в ночное время в течение 20 дней. Необходимо выяснить, будет ли количество посетителей находиться в пределах от 250 до 500 человек. Х  N (m; ). X – количество посетителей в ночное время. Оцените неизвестные параметры m и  (2 метода), найдите Р{250<X<500}. (Ответ: m=339; =113,31; P{250<X<500}=0,7).

	200	250	300	430	490	510
	2	8	2	3	3	2

Задача 25

По данной выборке

	-2	-1	0	3
	7	5	3	5

Оценить параметры (два способа). (Ответ: )

Задача 26

В обязанности контролера на конвейерной линии входит проверка комплектации упаковок с карандашами. В день контролер проверяет 500 коробок. На основании данных, представленных в таблице, определите вероятность того, что контролер обнаружит меньше 6 несоответствий в коробке. Распределение Пуассона: Х – число возможных ошибок в комплектации коробки. Оцените параметр  (2 способа). (Ответ: =0,554; P{X<6}=0,99998).

	0	1	2	3	4	5	6
	400	33	17	15	20	5	10

Задача 27

Известно, что случайные ошибки каких-либо измерений подчиняются нормальному распределению. Была исследована группа из 100 студентов, которые проводили некоторые измерения, после чего составили таблицу, с указанием совершенных ими ошибок. Х – число ошибок в измерении. Оцените параметры m и  (2 метода), найдите Р{3<X<6}. (Ответ: m=4,53; =1,49; P{3<X<6}=0,677).

	1	3	4	5	6	7	8
	6	15	25	35	10	5	4

Задача 28

Прожиточный минимум в некоторой стране составляет 3 тысячи рублей. Известно, что ожидание доходов населения выше прожиточного минимума подчиняется распределению Парето. Было опрошено 50 человек (жителей) этой страны и составлена следующая таблица, Х – величина дохода. Оцените параметр  (два метода), найдите Р{3<X<3,9}. (Ответ: =7,122; Р{3<X<3,9}=0,846)

	3,2	3,5	4	4,2	4,7	5,1
	28	12	5	2	2	1

Задача 29

Тренер автогонщиков предположил, что время прохождения гонщиком трассы распределяется равномерно в интервале (a;b), и решил вести учет времени, за которое его ученики проходят кольцевую трассу длиной 2 километра. В течение нескольких дней он вел статистику заездов и записал 25 результатов, затем составив таблицу. Х – время заезда в минутах. По данной выборке оценить параметры a и b, P{X<1,5}.(Ответ: a=1,339; b=1,685; P{X<1,5}=0,465).

	1,3	1,4	1,5	1,55	1,6	1,7
	2	4	6	8	3	2

Задача 30

Время, в течение которого работники организации досконально помнят содержание должностной инструкции, подчиняется показательному закону с параметром . В течение нескольких месяцев тестировали 30 работников, и была составлена статистическая таблица. По данной выборке оценить параметр , P{X>1}, составить схемы графиков f(x) и F(x). (Ответ: =0,79; P{X>1}=0,45).

	0,2	0,7	1,1	1,3	2,1	2,7	3
	5	6	10	2	1	4	2

Задача 31

В течение года цены на автомобиль некоторой марки подчинялись нормальному закону. Для определения вероятности прогноза, что цена на автомобиль будет в пределе от 20 до 30 тысяч евро, провели статистическое исследование и составили таблицу. Х – цена за машину (тысяч евро). Оцените параметры m и  (2 метода), найдите Р{20<X<30}. (Ответ: m=22,5; =5,27; P{20<X<30}=0,6).

	10	15	20	25	30	35
	5	10	30	45	6	4

Задача 32

Молодой человек предположил, что время ожидания его девушки распределено равномерно в промежутке (a;b). В течение 20 дней он вел записи времени появления девушки. Был составлен статистический ряд. Х – время прихода девушки (в минутах). Оцените параметры a и b (метод моментов Пирсона), найдите Р{X<2}. (Ответ: a=0,35; b=4,15; P{X<2}=0,43).

	0,5	1,0	1,5	2,5	3,0	3,5	4
	2	3	4	2	5	2	2

Задача 33

В турфирме должны проверить 50 комплектов документов для подачи их в посольство. Х – число возможных ошибок в документе. После проверки была составлена статистическая таблица (распределение Пуассона). Оцените параметр (2 способа) (Ответ: =1,36).

	0	1	2	3	4
	18	12	9	6	5

Задача 34

По данной выборке

	-1	0	2	5
		0,382
	3	2	7	5

Оценить параметры (два способа). (Ответ: )

Задача 35

Абитуриент сдает экзамены в 18 ВУЗов. В каждый ВУЗ он сдает по 3 экзамена. А – сданный экзамен, Х – число сданных экзаменов. Оцените по данной выборке вероятность р(А) (2 способа), р{X2}. (Ответ: р=0,5; р{X2}=0,875).

	0	1	2	3
	3	2	2	3

Задача 36

Геометрическое распределение: бросают игральный кубик. Опыты проводятся до выпадения «4». Всего проводится 15 испытаний. Оцените параметр р (метод моментов Пирсона). Определите вероятность того, что «4» выпадет больше, чем с 3 раза . (Ответ: р=0,144; Р{X<3}=0,75).

	1	3	4	7	9	12	14
	1	3	2	4	2	1	2