Числові множини. Запис числових проміжків
Означення: Множини, елементами яких є числа, називаються числовими множинами.
Для запису деяких стандартних числових множин користуються загальноприйнятими позначеннями:
N = {1, 2, 3, 4, 5, …} – множина натуральних чисел;
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5 …} – множина цілих невід’ємних чисел;
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} – множина цілих чисел;
Q – множина раціональних чисел;
R – множина дійсних чисел.
Згадаємо відомі зі школи способи запису числових проміжків. Запис виду А = [-1, 6) означає, що множина А складається з дійсних чисел, які більше або дорівнюють -1, але менші за 6. Запис: В = (-∞,18] означає, що елементами множини В є дійсні числа, що менші або дорівнюють 18 (читають «від мінус нескінченності до 18 включно»).
Переріз і об’єднання множин. Закони цих операцій. Доповнення підмножини
У ряді задач теоретичного і практичного змісту виникає потреба виконувати над множинами певні операції.
Означення: Перерізом двох множин А і В називається множина, яка містить усі ті і тільки ті елементи, які належать кожній із цих множин.
Позначають переріз множин за допомогою знака ∩. Отже, якщо
а є А∩В, то а є А і а є В; тобто А∩В = {x | x є A і х є В}.
Якщо перерізом множин А і В є порожня множина, тобто А∩В = Ø, то вважають, що множини не перетинаються. Якщо ж множина А є підмножиною множини В, то А∩В = А.
Наприклад: Якщо множина А – це дільники числа 18, В – дільники 24, то А∩В = {1, 2, 3, 6}.
П
ереріз
зручно проілюструвати за допомогою
кругів Ейлера:
А∩В
А∩В
= ø
А В А В
Означення: Об’єднанням двох множин А і В називається множина, яка містить усі ті і тільки ті елементи, які належать хоча б одній із множин А або В. Об’єднання множин позначають знаком U :
А U B = {x| x ЄА або х Є В}.
Наприклад: A = {a, b, c, d}, B = {k, m, n}
A
U B = {a,
b,
c,
d,
k,
m,
n}.
А U B А U B
Означення: Якщо множина В є підмножиною множини А, то доповненням множини В до множини А називається така множина А\В, що містить ті і тільки ті елементи множини А, які не належать множині В.
Тобто:
А\В = {x
| х
є А і х
В}.
А\В
Наприклад: А = {a, b, c, d, e, f}, B = {a, b, d, f}. Тоді А\В = {c, e}.
Оскільки операції перерізу, об’єднання та доповнення відповідають діям множення, додавання і віднімання, то для них виконуються всі закони цих дій, тобто переставний, сполучний та розподільний.
Переставний: а) А∩В = В∩А;
б) АUB = BUA.
2.Сполучний: а) (А∩В)∩C = A∩(B∩C);
б) (АUB)UC = AU(BUC).
Доведемо рівність б). Для того щоб множини (АUB)UC і AU(BUC) були рівні, необхідно і достатньо, щоб будь-який елемент х, що належить першій множині, належав також і другій, і навпаки.
1) Нехай х належить першій множині, тобто х (АUB)UC. Тоді х АUB, або х С (за означенням об’єднання множин). Звичайно, може бути і одночасно х АUB і х С, але для доведення це неістотно.
А) Якщо х АUB, то знову за означенням об’єднання множин або х А і тоді х AU(BUC), або х В і тоді х BUC, а отже , і х AU(BUC);
Б) Якщо х С, то х ВUС, тому х AU(BUC).
Таким чином, довели, що будь-який елемент першої множини (лівої частини рівності) належить і другій множині (правій чистині рівності). Аналогічно виконується друга частина доведення.
2) Нехай, навпаки, будь-який елемент х належить другій множині, тобто х AU(BUC). Доведемо, що тоді х (АUB)UC.
Якщо х AU(BUC), то або х А, тоді х АUB, а отже і х (AUB)UC; або х BUC, але тоді або х B, а отже, і х AUB, тому х (АUB)UC, або х С, але тоді х (АUB)UC.
Тотожність доведено.
3. Розподільний: a) (AUB)∩C = (A∩C) U (B∩С);
б) А∩(В\С) = (А∩В)\ (А∩С);
в) (А∩В)UC = (AUC)∩(BUC).