Тема. Множення цілих невід’ємних чисел

План

1. Визначення добутку двох цілих невід’ємних чисел як числа елементів декартового добутку двох скінченних множин.

2. Визначення добутку цілих невід’ємних чисел через суму. Операція множення цілих невід’ємних чисел.

3. Визначення добутку декількох множників.

4. Існування добутку, його єдиність.

5. Закони множення: комутативний, асоціативний, дистрибутивний.

1. Визначення добутку двох цілих невід’ємних чисел як числа елементів декартового добутку двох скінченних множин

До означення добутку цілих невід’ємних чисел можна підійти через поняття декартового добутку множин. Нехай . Тоді складається з пар: , , ,

, , .

, , тоді . Отже, у випадку скінченних множин А і В маємо: .

Означення. Добутком цілих невід’ємних чисел а і b називається число елементів декартового добутку множини, що має а елементів, на множину, що має b елементів.

2. Визначення добутку цілих невід’ємних чисел через суму. Операція множення цілих невід’ємних чисел

Розглянемо інший підхід до означення добутку цілих невід’ємних чисел, в основі якого лежить поняття суми.

Означення. Добутком цілих невід’ємних чисел а і b називається таке ціле невід’ємне число , яке задовольняє такі вимоги:

1) , якщо ;

2) , якщо ;

3) , якщо .

Теоретико-множинний смисл цього означення наступний. Якщо множини містять по а елементів кожна і ніякі дві з них не перетинаються, то їх об’єднання містить елементів. Отже, добуток - це число елементів в об’єднанні b множин, які попарно не перетинаються, кожна з яких містить по а елементів. Рівності і приймаються за умовою, адже не можна сказати «а взяти доданком 1 раз» або «нуль раз».

Так, тільки на конкретних множинах вводять за діючими підручниками поняття добутку у другому класі. Перед учнями ставлять, наприклад, задачу: «У кожній парі по 2 вишні. Скільки всього вишень у шести парах?».

Записавши результат за допомогою суми (в.), з’ясовують, що такий запис суми дуже громіздкий і обчислення виконувати довго і незручно навіть при такій, порівняно невеликій, кількості доданків. А що коли б потрібно було визначити кількість вишень у 25 парах або 40? Тому умовились додавання однакових доданків вважати окремою дією – множенням – і записувати коротше: .

Після цього поступово складають таблицю множення (тобто множення одноцифрових чисел), яку діти заучують.

Дією, за допомогою якої знаходять добуток двох чисел а і b називають множенням, числа, які перемножують, - множниками, зокрема, число а називають множеним, а число b – множником, добутком називають вираз і результат множення.

3. Визначення добутку декількох множників

Розглянемо, як визначити добуток декількох множників.

Нехай добуток двох множників означено і означено добуток п множників. Тоді добуток, що складається з множника, тобто добуток , дорівнює .

Наприклад, щоб знайти добуток .

4. Існування добутку, його єдиність

Закони існування і єдності добутку двох цілих невід’ємних чисел: добуток цілих невід’ємних чисел а і b існує, він єдиний.

Доведення ґрунтується на основі означення добутку двох цілих невід’ємних чисел через суму. Розглянемо три випадки:

1) Якщо , то

Сума b доданків існує, вона єдина. Отже, добуток існує, він єдиний.

2) Якщо , то . Існує єдине число а. Отже, добуток існує, він єдиний.

3) Якщо , то . Існує єдине число 0. Отже, добуток існує, він єдиний.