Тема. Віднімання цілих невід’ємних чисел

План

1. Теоретико-множинний смисл різниці двох цілих невід’ємних чисел.

2. Означення різниці через суму. Зв’язок дії віднімання з дією додавання.

3. Умови існування різниці, її єдиність.

4. Правила віднімання.

5. Відношення «більше на», «менше на».

6. Прості задачі, які розв’язуються дією віднімання.

1. Теоретико-множинний смисл різниці двох цілих невід’ємних чисел

Розглянемо задачу: «В гаражі стояло 9 машин. 3 машини від’їхали. Скільки машин залишилось у гаражі ?». Ця задача розв’язується виразом на віднімання: 9 − 3 = 6 (машин). Розв’язання цієї задачі пов’язано з виділенням з множини машин, які стояли у гаражі (число елементів її – 9) підмножини машин, які від’їхали (число елементів підмножини – 3) і знаходженням числа елементів у доповненні цієї підмножини, тобто множини машин, які залишились (число елементів доповнення – 6) до даної множини.

Означення. Різницею цілих невід'ємних чисел а і b називається число елементів в доповненні множини В до множини А, де n (А) = а, n (В) = b, B A, тобто а − b = n (A\B), де n (А) = а, n (В) = b, B A.

Різниця а – b не залежить від вибору множин, але таких, що n(А) = а, n (В) = b і B A.

Приклади:

1) A = {a, b, c, d}, B = {c, d}, тобто B A, n (A) = 4, n (B) = 2 A\B = {a, b}, n (A\B) = 2 4 – 2 = 2.

2) A = {Δ, Δ, Δ, Ο}, B = {Ο}, тобто B A, n (A) = 5, n (B) = 1

A\B = { Δ, Δ, Δ }, n (A\B) = 4 5 – 1 = 4.

Дія, за допомогою якої знаходять різницю, називається відніманням. Компоненти дії віднімання – зменшуване (а) і від’ємник (b).

У початковому курсі математики ознайомлення з дією віднімання відбувається на основі практичних вправ, які пов’язані з вилученням підмножини елементів даної множини і утворенням нової множини, що є доповненням даної підмножини (без використання відповідної символіки та термінології). Основним засобом розкриття теоретико-множинного смислу віднімання є розв’язування простих текстових задач.

2. Означення різниці через суму. Зв’язок дії віднімання з дією додавання

Існує тісний зв’язок між додаванням і відніманням, тому правильність віднімання перевіряють додаванням.

Нехай дано цілі невід’ємні числа а і b такі, що а = n (A), b = n (B), B A і n (A\B) = а − b. За допомогою кругів Ейлера множини A, B і A\B зображуються так:

Так як A = B (A\B), то n (A) = n (B (A\B)). Так як B (A\B) = , то n (A) = n (B (A\B)) = n (B) + n (A\B) = b + (а – b) = а різниця а – b – це таке число, яке в сумі з b дає число а. Тому маємо друге означення різниці: різницею цілих невід'ємних чисел а і b називається таке ціле невід’ємне число с, яке в сумі з числом в дає число а, тобто

а − b = c а = b + с.

Дія віднімання є оберненою до дії додавання. Дії додавання і віднімання є діями І ступеня. Друге означення різниці встановлює зв’язок між цими діями і є основою правила знаходження невідомого доданка за відомою сумою і другим доданком.

2. Умови існування різниці, її єдиність

Теорема про існування різниці цілих невід’ємних чисел: «Різниця цілих невід’ємних чисел а і b існує тоді і тільки тоді, коли b ≤ а».

Доведення.

1) Якщо а = b, то а – b = 0, тобто різниця а – b існує.

2) Якщо b < а, то за означенням відношення «менше» існує таке натуральне число с, що а = b + с. Тоді за означенням різниці с = а – b, тобто різниця а–b існує.

3) Якщо різниця а – b існує, то за означенням різниці існує таке ціле невід’ємне число с, що а = b + с. Якщо с = 0, то а = b; якщо с > 0, то b < а за означенням відношення «менше». Отже, b ≤ а.

Теорема про єдиність різниці цілих невід’ємних чисел: «Якщо різниця цілих невід’ємних чисел існує, то вона єдина».

Доведення. Нехай існують два значення різниці а – b: а – b = с₁ та а – b = с₂. Тоді за означенням різниці маємо а = b + с₁ та а = b + с₂. Звідси маємо в + с₁ = b + с₂, тому с₁ = с₂.