2. Правила віднімання

Правило віднімання числа від суми: «Щоб відняти число від суми, достатньо відняти його від одного з доданків та до отриманого результату додати інший доданок».

Дане правило сформулюємо символічно.

Якщо а, b, с – цілі невід’ємні числа, то:

1) при а ≥ с маємо, що (а + b) – с = (а – с) + b;

2) при b ≥ с маємо, що (а + b) – с = а + (b – с);

3) при а ≥ с та b ≥ с можемо використати будь-яку з даних рівностей.

Доведення (для випадку 1).

Нехай а ≥ с, тоді різниця а – с існує. Позначимо її буквою р, тобто а – с = р. Звідси а = р + с. Підставимо суму р + с замість а у вираз (а + b) – с та виконаємо перетворення: (а + b) – с = (р + с + b) – с = р + b. Але так як р = а – с, то (а + b) – с = = (а – с) + b, що й треба було довести.

Доведення для випадків 2 і 3 аналогічне.

Покажемо графічне зображення доведення даного правила за допомогою кругів Ейлера. Розглянемо три скінчені множини A, B та C такі, що n (A) =а, n (В) = b, n (С) = с, A B = та C A. Тоді (а + b ) – с – це кількість елементів множини (А В)\С, а число (а – с) + b – це кількість елементів множини (А\С) В. На кругах Ейлера множина (А В)\С зображена заштрихованою областю. Але множина (А\С) В зображується такою ж самою областю. Тому (А В)\С = (А\С) В для даних множин А, В і С. Отже, n ((А В)\С) = n ((А\С) В) та (а + b) – с = (а – с) + b.

Аналогічно можна показати графічне зображення для випадків 2 і 3.

Правило віднімання суми від числа: «Щоб від даного числа відняти суму, достатньо відняти від нього послідовно кожен доданок», тобто якщо а, b, с – цілі невід’ємні числа, то при а ≥ b + с маємо

а – (b + с) = (а – b) – с = (а – с) – в.

Доведення даного правила та його теоретико-множинне тлумачення за допомогою кругів Ейлера є аналогічними.

Дані правила в початковій школі розглядаються на конкретних прикладах при визначенні раціонального способу обчислення. Правило віднімання суми від числа є основою прийому віднімання по частинам:

12 – 5 = 12 – (2 + 3) = (12 – 2) – 3 = 10 – 3 = 7.

Також ці правила застосовуються при розв’язуванні задач різними способами. Наприклад задачу «На столі лежали 15 маленьких та 7 великих трикутників. Для аплікації використали 5 трикутників. Скільки трикутників залишилось?» можна розв’язати трьома способами:

1 спосіб: 1) 15 + 7 = 22 (тр.)

2) 22 – 5 = 17 (тр.)

2 спосіб: 1) 15 – 5 = 10 (тр.)

2) 10 + 7 = 17 (тр.)

3 спосіб: 1) 7 – 5 = 2 (тр.)

2) 15 + 2 = 17 (тр.).

2. Відношення «більше на», «менше на»

При розв’язуванні задач та в практичній діяльності буває необхідно не тільки визначити, що число а більше (або менше) числа b, але й дізнатися на скільки число а більше (або менше) числа b.

Встановимо теоретико-множинний смисл відношень «більше на» та «менше на». Нехай а і b – цілі невід’ємні числа такі, що а = n (А), b = n (В), причому а < b. Це означає, що у множині В можна виділити власну підмножину В₁, яка рівнопотужна множині А, та множина В\В₁ не є порожньою. Нехай n (В\В₁) = с, причому с ≠ 0. Тоді у множині В стільки ж елементів, що і у множині А, та ще с елементів. У цьому випадку кажуть, що число а менше числа b на с або число b більше числа а на с.

Так як с = n (В\В₁), де В₁ – підмножина множини В, то с = а–b.

Отже, щоб дізнатися, на скільки одне число більше або менше другого, треба від більшого числа відняти менше.

Відношення «більше на», «менше на» зустрічаються в простих текстових задачах з відношенням: це задачі на різницеве порівняння чисел, задачі на збільшення (зменшення) числа на декілька одиниць.

Задача 1: «На городі посадили 4 кущі малини та 9 кущів порічок. На скільки більше посадили кущів порічок?».

Згідно з правилом відповідь на питання задачі знаходимо за допомогою виразу на віднімання 9 – 4 = 5. Та чи можна від 9 кущів порічок відняти 4 кущі малини? Але в даному випадку від 9 кущів порічок віднімають 4 кущі порічок. Тож покажемо це, позначивши кущі малини кругами, а кущі порічок квадратами.

D

Z

Z₁

Щоб дати відповідь на питання задачі, виділимо у множині кущів порічок підмножину Z₁, рівнопотужну множині кущів малини. Тоді кущі порічок, що залишилися, утворюють доповнення множини Z₁ до множини Z та їх кількість дорівнює різниці чисел 9 і 4.

Задача 2: «На городі посадили 4 кущі малини, а кущів порічок на 5 більше. Скільки посадили кущів порічок?».

В цій задачі маємо дві множини: D – множина кущів малини, Z – множина кущів порічок. Відомо, що n (D) = 4, а кількість елементів множини Z треба знайти за умови, що в ній на 5 елементів більше, ніж у D. Тому n (Z) – n (D) = 5, звідки n (Z) = 5 + n (D) = 5 + 4 = 9.

Це також можна пояснити, спираючись на попереднє графічне зображення даних множин. Так як у множині Z на 5 елементів більше, ніж у множині D, а це означає, що у Z стільки ж елементів, скільки у D, та ще 5 елементів. Іншими словами, множину Z можна розглядати як об’єднання двох множин Z₁ і Z₂ таких, що Z₁~D та n (Z₂) = 5. Так як множини Z₁ і Z₂ не мають спільних елементів, то n (Z) = n (Z₁ Z₂) = n (Z₁) + n (Z₂) = 4 + 5 = 9.

Задача 3: «На городі посадили 9 кущів порічок, а малини на 3 кущі менше. Скільки кущів малини посадили?».

В цій задачі також маємо дві множини: множину кущів порічок (Z) та множину кущів малини (D), причому n (Z) = 9, а кількість елементів множини D треба знайти за умови, що в ній на 3 елемента менше, ніж у Z. Тому n (Z) – n (D) = = 3, звідки n (D) = n (Z) – 3 = 9 – 3 = 6.

Використовуючи наступне графічне зображення, розв’язання задачі здійснюється так: оскільки кущів малини на 3 менше, ніж кущів порічок, то кущів порічок на 3 більше, тому, видаливши із множини Z підмножину з трьох елементів, отримаємо множину, рівнопотужну множині D, тобто n (D) = 9 – 3 = 6.

Z

D