3. Теоретико-множинний зміст кількісного натурального числа і нуля

Розкриємо зміст кількісного натурального числа з теоретико-множинних позицій, використовуючи поняття рівнопотужних множин.

Відберемо в один клас всі скінченні множини, які рівнопотужні деякій скінченній множині А; в другий клас множини, рівнопотужні іншій скінченній множині - В і т. д. В силу того, що відношення рівнопотужності є відношенням еквівалентності, всі скінченні множини будуть розподілені за класами еквівалентності. Всі множини одного класу мають спільну властивість, а саме - в них однакова потужність (тобто однакова кількість елементів - що і є кількісним натуральним числом).

Означення. Кількісним натуральним числом називається загальна властивість класу скінченних рівнопотужних множин.

Кожному класу відповідає одне і тільки одне натуральне число.

Кожному натуральному числу відповідає тільки один клас рівнопотужних множин.

Кожній скінченній множині відповідає одне і тільки одне натуральне число а = n (А), але кожному натуральному числу відповідають різні скінченні множини одного класу еквівалентності.

Наприклад: числу 3 відповідають множина сторін трикутника, множина його вершин, множина кутів, множина букв у слові «мир» і т. д.

Теоретико-множинний смисл числа нуль: Нуль - це загальна властивість класу порожніх множин. 0 = п (0)

В початковому курсі математики при розкритті поняття числа в темі: «Числа першого десятка» кількісне натуральне число розглядається як загальна властивість класу скінченних рівнопотужних множин.

3. Порівняння натуральних чисел

Означення 1. Числа а і b називаються рівними, якщо вони визначаються рівнопотужними множинами.

Тобто , якщо а =п(А), b= n(В) і А~ В, то a = b.

Означення 2. Число а менше числа b, якщо множина А рівнопотужна власній підмножині множини В, де а = п(А), b = п (В).

a < b A В₁ і B₁ В, B В₁, В₁ .

Означення 3. Число а менше числа b тоді і тільки, коли відрізок натурального ряду N_a власною підмножиною відрізка N_b цього ряду.

a < b N_a N_b , N_a N_b

Означення 4. Число а менше числа b тоді і тільки тоді, коли існує таке натуральне число с, що а + с = b .

3. Властивості множини цілих невід’ємних чисел

1. Множина цілих невід’ємних чисел впорядкована. Наприклад, вона впорядковується відношенням «менше», яке є транзитивним і антисиметричним.

Для будь - яких цілих невід’ємних чисел а і b може виконуватись одне з трьох відношень: а < b, а = b, а > b.

Можна розташувати числа так, щоб для будь-яких двох чисел спочатку йшло число менше, тоді отримаємо ряд цілих невід’ємних чисел: 0,1, 2, З, 4,...

2. Множина цілих невід’ємних чисел нескінченна. Для кожного цілого невід’ємного числа а можна вказати число, яке слідує безпосередньо за ним. Це число а + 1.

3. Множина цілих невід’ємних чисел дискретна. Це означає, що не можна вказати таке натуральне число, яке знаходиться між цілими невід’ємних числами а і а + 1. Самі ці числа називаються сусідніми.

При вивченні чисел першого десятка в 1 класі з’ясовується утворення кожного числа натурального ряду (прилічуванням і відлічуванням одиниці). При цьому використовуються поняття «слідує», «передує», «попереднє число», «наступне число», тобто створюються умови, щоб учні зрозуміли властивості чисел натурального ряду:

будь-яке число натурального ряду може бути отримане додаванням одиниці до того числа, яке при лічбі називається перед ним;

будь-яке число натурального ряду на 1 більше, ніж попереднє.