- •Рецензенти:
- •Передмова
- •Розділ і висловлення і операції над ними. Предикати § 1. Висловлення і операції над ними. Елементи математичної логіки
- •1. Вступ
- •2. Висловлення. Прості і складені висловлення
- •Предикати (висловлювальні форми)
- •Квантори
- •§ 2. Структура і види теорем
- •1. Структура теореми
- •2. Види теорем
- •3. Найпростіші схеми правильних міркувань
- •§ 3. Математичні поняття. Особливості математичних понять. Об'єм і зміст поняття. Означення понять. Структура означення понять через рід і видову відмінність
- •1. Поняття як форма мислення. Особливості математичних понять
- •2.Зміст і обсяг поняття, відношення між ними
- •Способи означення математичних понять
- •4. Вимоги до логічно правильних означень понять
- •5. Приклади математичних понять, які розглядаються в початковому курсі математики
- •Питання для самоконтролю
- •Система вправ
- •Розділ іі множини, операції над ними. Відношення § 4. Множини, операції над ними
- •Поняття множини і елемента множини. Порожня множина. Способи задання множин
- •Підмножина. Рівні множини. Зображення множин і зв’язків між ними за допомогою кругів Ейлера
- •Числові множини. Запис числових проміжків
- •Переріз і об’єднання множин. Закони цих операцій. Доповнення підмножини
- •Декартів добуток двох множин. Зображення декартового добутку двох числових множин на координатній площині
- •Властивості декартового добутку:
- •6. Поняття розбиття множини на підмножини, що попарно не перетинаються. Класифікація понять. Приклади класифікацій
- •§ 5. Відношення та відповідність
- •Поняття відношення. Граф відношення
- •Способи задання відношень
- •Властивості відношень
- •Відношення еквівалентності
- •Відношення порядку
- •Поняття відповідності
- •Способи задання відповідностей
- •Відповідність, обернена даній
- •Взаємно однозначні відповідності
- •Рівнопотужні множини
- •Питання для самоконтролю
- •Система вправ
- •Коротка історія розвитку поняття числа
- •Визначення натурального числа і нуля
- •Теоретико-множинний зміст кількісного натурального числа і нуля
- •Порівняння натуральних чисел
- •Властивості множини цілих невід’ємних чисел
- •Тема. Додавання цілих невід’ємних чисел
- •Теоретико-множинний смисл суми двох цілих невід’ємних чисел
- •Існування суми, її єдиність
- •Сума декількох доданків
- •Закони додавання
- •Тема. Віднімання цілих невід’ємних чисел
- •Теоретико-множинний смисл різниці двох цілих невід’ємних чисел
- •Означення різниці через суму. Зв’язок дії віднімання з дією додавання
- •Умови існування різниці, її єдиність
- •Правила віднімання
- •Відношення «більше на», «менше на»
- •Тема. Текстова задача. Способи розв’язування текстових задач. Прийоми пошуку плану розв’язування текстових задач, способи запису і перевірки. Прості текстові задачі на додавання і віднімання
- •Тема. Множення цілих невід’ємних чисел
- •1. Визначення добутку двох цілих невід’ємних чисел як числа елементів декартового добутку двох скінченних множин
- •2. Визначення добутку цілих невід’ємних чисел через суму. Операція множення цілих невід’ємних чисел
- •3. Визначення добутку декількох множників
- •Існування добутку, його єдиність
- •5.Закони множення: комутативний, асоціативний, дистрибутивний
- •Тема. Ділення на множині цілих невід’ємних чисел
- •2. Зв’язок ділення з множенням
- •3. Існування частки, її єдиність
- •4. Правила ділення
- •1. Правило ділення суми на число.
- •6. Ділення цілого невід’ємного числа на натуральне з остачею
- •Тема. Прості задачі на множення та ділення
- •V. Задачі на знаходження невідомого компонента арифметичної дії:
- •§7. Десяткова система числення
- •1. Десяткова система числення
- •Порівняння чисел у десятковій системі числення:
- •2. Додавання і віднімання багатоцифрових чисел в десятковій системі числення багатоцифрових чисел Алгоритм додавання цілих невід’ємних чисел у десятковій системі числення
- •Віднімання цілих невід’ємних чисел у десятковій системі числення
- •3. Множення і ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення багатоцифрових чисел
- •§ 8. Подільність цілих невід’ємних чисел
- •1. Відношення подільності на множині натуральних чисел, його властивості
- •Рефлексивність.
- •Антисиметричність.
- •Транзитивність.
- •2. Теореми про подільність суми, різниці, добутку
- •3. Ознаки подільності на 2 і 5, 4 і 25, 3 і 9, на складені числа
- •4. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне натуральних чисел, способи їх знаходження
- •Способи знаходження найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного
- •§ 9. Позиційні і непозиційні системи числення
- •1. Позиційні і непозиційні системи числення
- •2. Дії над числами в позиційних системах числення, відмінних від десяткової
- •Питання для самоконтролю
- •Система вправ
- •Розділ IV раціональні і дійсні числа § 10. Раціональні числа. Дії над ними та їх властивості
- •Поняття про вимірювання відрізків. Розширення множини цілих невід’ємних чисел
- •Дроби та їх властивості
- •3. Визначення арифметичних дій над додатними раціональними числами
- •Закони додавання і множення
- •5. Упорядкованість множини додатних раціональних чисел
- •6. Запис додатних раціональних чисел у вигляді десяткових дробів
- •§ 11. Дійсні числа та дії над ними
- •1. Несумірні відрізки і ірраціональні числа. Невід’ємні дійсні числа
- •2. Арифметичні дії над дійсними невід’ємними числами. Їхні властивості
- •Від’ємні числа. Множина дійсних чисел
- •Питання для самоконтролю
- •Система вправ
- •Розділ V рівності і нерівності, рівняння. Функції § 12. Математичні вирази. Рівності і нерівності
- •Алфавіт математичної мови
- •Числові вирази. Значення числового виразу
- •Вирази зі змінною
- •Тотожні перетворення виразів
- •Числові рівності, властивості істинних числових рівностей
- •Числові нерівності, властивості істинних числових нерівностей
- •§ 13. Рівняння та їх властивості. Нерівності, що містять змінну
- •Рівняння з однією змінною
- •Рівносильність рівнянь
- •Нерівності з однією змінною
- •Рівносильність нерівностей
- •§ 14. Функції, графіки та їх властивості
- •Поняття функції. Графік функції
- •2. Лінійна функція
- •3. Пряма пропорційність
- •Обернена пропорційність
- •Функціональна пропедевтика в початковій школі
- •Іі етап
- •Питання для самоконтролю
- •Система вправ
- •Розділ VI величини та їх властивості § 15. Поняття величини та її вимірювання
- •Поняття вимірювання величин. Основні властивості числових значень додатніх скалярних величин
- •Величини, що вивчаються в курсі математики і – іv класів
- •§ 16. Довжина відрізка, її властивості і вимірювання
- •§ 17. Площа фігури, її властивості і вимірювання
- •Щоб обчислити площу прямокутника, треба визначити його довжину і ширину та знайти добуток цих чисел.
- •§ 18. Об’єм тіла, його властивості і вимірювання
- •§ 19. Маса тіла і її вимірювання
- •§ 20. Час та його вимірювання
- •§ 21. Вартість та залежність між величинами: ціна, кількість, вартість
- •Питання для самоконтролю
- •Система вправ
- •Точка, пряма, їх властивості
- •Властивості:
- •Властивості:
- •3.2. Означеня кута
- •Властивості вимірювання кутів:
- •Види кутів
- •4. Трикутники
- •5. Коло, круг
- •6.Многокутники
- •Властивості паралелограма:
- •Властивості квадрата:
- •Властивості ромба:
- •7. Многогранники і тіла обертання
- •Питання для самоконтролю
- •Система вправ
- •Література
- •Джерела інформації
2. Види теорем
Розрізняють пряму, обернену, протилежну і обернену до протилежної теореми.
1. А В – пряма теорема,
2. В А – обернена теорема,
3. - протилежна теорема,
4. - обернена до протилежної теорема.
Пряма і обернена до протилежної теореми є рівносильними.
Приклад: «Якщо кути вертикальні, то вони рівні» – пряма теорема.
А: «кути вертикальні», В: «кути рівні».
А В – пряма теорема.
Обернена: В А: «Якщо кути рівні, то вони вертикальні».
Протилежна: : «Якщо кути не вертикальні, то вони не рівні».
Обернена до протилежної: : «Якщо кути не рівні, то вони не вертикальні».
Існує зв'язок між названими видами теорем. Встановлено, що теореми А В і рівносильні, тобто А В . Отриману рівносильність називають законом контрапозиції.
3. Найпростіші схеми правильних міркувань
У математиці існує ряд загальних методів доведення теорем. Розглянемо деякі з них.
Дедуктивне доведення. Це основний метод математичних доведень. Кожен його крок ґрунтується на певному логічному законі, аксіомі або даних теорем, і все доведення є ланцюжок логічних умовиводів. При такому доведенні з правильних умов теореми ми з необхідністю дістаємо правильний висновок.
Наприклад, теорема: «Якщо число ділиться на 2 і на 3, то, оскільки воно ділиться на 2 і не ділиться на 6, воно не ділиться на 3».
Введемо позначення: А- «число ділиться на 2», В – «число ділиться на 3», С – «число ділиться на 6».
Доведення цієї теореми запишемо за допомогою послідовних дедуктивних умовиводів.
А, В – умова теореми;
А В;
А В С;
(А В С) (А );
(А ).
На третьому кроці використано теорему: якщо число ділиться на кожне з двох взаємно простих чисел, то воно ділиться і на їхній добуток.
Повна індукція. Термін «індукція» походить від латинського induktio – наведення. У математиці використовуються повна й неповна індукції.
Доведення методом повної індукції полягає в розгляді всіх окремих випадків (чисел, фігур тощо), при яких теорема правильна. Кількість таких випадків повинна бути скінченною і невеликою за кількістю.
Теорема: Значення виразу с = а2 + b2, (а, b Z) є число, що при діленні на 4 не має остачі 3.
Доведення теореми проведемо, розглядаючи три випадки: 1) обидва числа парні; 2) обидва числа непарні; 3) одне число парне, друге – непарне.
Нехай а, b – парні, тобто а = 2m, b = 2n, m, n Z. Дістанемо
с = (2m)2 + (2n)2 = 4m2 + 4n2 = 4∙ (m2 + n2), тобто с 4, остача 0.
Нехай а, b – непарні числа, тобто а = 2m + 1, b = 2n + 1, m, n Z. Маємо
с = (2m + 1)2 + (2n + 1)2 = 4m2 + 4m + 1 + 4n2 + 4n + 1= 4 (m2 + n2 + m + n) + 2,
а це означає, що при ділені с на 4 дістанемо остачу 2 , а не 3.
Випадок 3) спробуйте розглянути самостійно.
Непрямі доведення.
Зведення до абсурду. Цей метод полягає в тому, що в теоремі А В припускають, що правильним буде . Якщо в результаті цього припущення приходять до неправильного висновку, абсурду, то роблять висновок, що наслідок В теореми А В правильний.
Цим способом доводять, наприклад, таку теорему: Якщо дві різні прямі а і b паралельні третій прямій с, то вони паралельні між собою.
Припустимо , тобто а і b не паралельні. Тоді вони перетинаються в якійсь точці К, яка не належить с. Дістанемо, що через точку К поза прямою с можна провести дві прямі а і b, які паралельні с, а це суперечить аксіомі паралельності, тобто є хибним твердженням. Отже, правильним твердженням є В.
Метод від супротивного. Цей спосіб ґрунтується на законі контрапозиції А В = .
Теорема: Довести, що коли аb– непарне число, то обидва множники а і b – непарні цілі числа.
Позначимо А: «добуток аb– непарне число», Т: «а – непарне число», S: «b – непарне число». Тоді теорема скорочено запишеться так:
A S T, або А В, де В «S T».
Припустимо, що = = , тобто один із множників а або b є парним числом. Нехай, наприклад, а – парне, тобто а = 2m, m Z. Тоді ab = 2mb – парне число, тоді дістали . Таким чином довели теорему , а цим самим і дану теорему А В.
Поширеним прикладом неправильних міркувань є непродумане використання неповної індукції, коли загальний висновок зроблено на основі окремих спостережень, експериментів, розгляду скінченної кількості їх. Використання неповної індукції може привести як до правильних, так і неправильних висновків. Так, побудувавши кілька графіків лінійних рівнянь з двома змінними в прямокутній системі координат і побачивши, що вони є прямими лініями, робимо висновок, що графік кожного лінійного рівняння з двома змінними є пряма лінія. Цей умовивід – правильний. Прикладом, коли неповна індукція приводить до хибного результату є теорема Ферма. Ще у XVII ст. математик П. Ферма (1601 – 1665) помітив, що числа виду Fn =22n+1 при n = 0, 1, 2, 3, 4 – прості: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.
Ферма висловив припущення, що при будь-якому n N числа такого виду є простими (їх стали називати простими числами Ферма). Ця гіпотеза була висловлена на основі кількох обчислювальних експериментів. У 1732 р. видатний математик Л. Ейлер (1707 – 1783) показав, що при n = 5
F5 = 4294967297 = 641 ∙ 6700417, тобто F5 не є простим числом. Цей контрприклад спростував гіпотезу Ферма.