2. Дії над числами в позиційних системах числення, відмінних від десяткової

Порівняння чисел, записаних у системі числення з основою р, виконується так само, як і в десятковій системі числення: порівнюються цифри, починаючи зі старших розрядів.

Дії над числами в не десяткових системах числення виконуються за тими ж правилами, що і в десятковій системі числення. Перш за все для додавання і множення одноцифрових чисел складаються відповідні таблиці. Вони використовуються як при відніманні і діленні одноцифрових чисел, так і при діях з багатоцифровими числами.

Таблиця додавання з р = 5

+	1 2 3 4
1 2 3 4	2 3 4 10 3 4 10 11 4 10 11 12 10 11 12 13

Таблиця множення з р = 5

×	1 2 3 4
1 2 3 4	1 2 3 4 2 4 11 13 3 11 14 22 4 13 22 31

Виконаємо додавання і віднімання чисел, записаних у п’ятірковій системі числення: ₊ 3421₍₅₎ _ 3421₍₅₎

342₍₅₎ 342₍₅₎

4313₍₅₎ 3024₍₅₎

Виконаємо множення і ділення чисел п’ятіркової системи числення:

_×4203₍₅₎ _ 221432₍₅₎ 28₍₅₎

24₍₅₎ 211 4203₍₅₎

32322₍₅₎ _104

13411₍₅₎ 103

221432₍₅₎ _132

132

0

Здійснити перехід від запису числа у десятковій системі числення до запису у не десятковій системі можна за допомогою послідовного ділення. Розглянемо це на конкретному прикладі:

869 = х₍₄₎ 869 4

868 217 4 Отже, 869 = 31211₍₄₎

1 216 54 4

I р. 1 52 13 4

II p. 2 12 3

III p. 1 V р.

IV p.

Розглянемо обернену задачу до попередньої: 31211₍₄₎ = х₍₁₀₎

31211₍₄₎ = 3∙4⁴ + 1∙4³ + 2∙4² + 1∙4 + 1 = 3∙256 + 1∙64 + 2∙16 + 1∙4 + 1 = 768 + 64 + + 32 + 4 + 1 = 869.

Питання для самоконтролю

1. Як розвивалось поняття натурального числа. Що замість чисел використовували люди у давнину?

2. Як утворились назви натуральних чисел? Які існують символи для запису чисел?

3. Дайте означення відрізку натурального ряду чисел?

4. Сформулюйте означення лічби елементів множини.

5. Що означає упорядкованість, нескінченність і дискретність множини цілих невід’ємних чисел?

6. Поясніть порівняння чисел.

7. Дайте означення суми двох цілих невід’ємних чисел. Назвіть компоненти дії додавання.

8. Сформулюйте теорему про існування суми та її єдиність.

9. Назвіть закони додавання та їх наслідки.

10. Дайте теоретико-множинне означення різниці двох цілих невід’ємних чисел, назвіть компоненти дії віднімання.

11. Сформулюйте теорему про існування та єдиність різниці.

12. Дайте означення різниці двох цілих невід’ємних чисел через зв’язок віднімання з додаванням.

13. Сформулюйте правила віднімання числа від суми і суми від числа.

14. Дайте визначення текстової задачі, назвіть її складові.

15. Які існують способи розв’язування текстових задач?

16. Назвіть етапи розв’язування задачі та способи реалізації кожного етапу.

17. Перелічіть прості текстові задачі на додавання та віднімання.

18. Дайте означення добутку двох цілих невід’ємних чисел як числа елементів декартового добутку двох скінченних множин.

19. Дайте означення добутку двох цілих невід’ємних чисел через суму. Назвіть компоненти дії множення. На що вказує кожен компонент?

20. Сформулюйте теорему про існування добутку та його єдиність.

21. Сформулюйте закони множення.

22. Дайте означення частки цілого невід’ємного числа і натурального через розбиття скінченної множини на рівнопотужні підмножини без спільних елементів. Чому означення складається з двох частин?

23. Як називаються компоненти дії ділення?

24. Дайте означення частки цілого невід’ємного числа і натурального через зв’язок ділення з множенням.

25. Поясніть неможливість ділення на нуль.

26. Сформулюйте теорему про існування і єдиність частки цілого невід’ємного числа і натурального.

27. Сформулюйте правила ділення суми і добутку на число.

28. Дайте означення ділення цілого невід’ємного числа на натуральне з остачею.

29. Перелічіть прості текстові задачі на множення та ділення.

30. Що називається системою числення?

31. Поясніть основи десяткової системи числення. Чому вона вважається позиційною?

32. Сформулюйте алгоритм додавання багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.

33. Сформулюйте алгоритм віднімання багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.

34. Сформулюйте алгоритм множення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.

35. Сформулюйте алгоритм ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.

36. Дайте означення відношення подільності на множині натуральних чисел. Поясніть властивості цього відношення.

37. Які числа називаються простими, які складеними? Яким є число 1?

38. Сформулюйте теореми про подільність суми, різниці і добутку.

39. Поясніть ознаки подільності на 2 і 5, 3 і 9, 4 і 25, на складені числа.

40. Дайте означення спільного дільника, найбільшого спільного дільника, назвіть його властивості.

41. Дайте означення спільного кратного, найменшого спільного кратного, назвіть його властивості.

42. Поясніть два способи знаходження найбільшого спільного дільника (НСД) і найменшого спільного кратного (НСК).

43. Перелічіть стародавні системи числення і назвіть їх відмінності. Якими з цих систем користуються ще й до цього часу?

44. Назвіть відмінності позиційних і непозиційних систем числення.

45. Поясніть алгоритм переходу з десяткової системи числення в позиційну систему, відмінну від десяткової. Як виконати перевірку?

46. Що спільне в алгоритмах виконання арифметичних дій в десятковій системі числення і в системах, відмінних від десяткової?