Відношення еквівалентності
Означення.
Відношення
у
множині 
називається відношенням
еквівалентності,
якщо воно рефлексивне, симетричне і
транзитивне.
Виконаємо таке завдання: побудуємо графи заданих відношень.
1) граф відношення «бути паралельним», за умови, що а || b || с, k || d || e, f || h.
Які властивості має дане відношення?
Властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.
2) граф відношення «бути рівними» на множині відрізків, якщо a = b = c, d = e, відрізок h не дорівнює жодному з даних відрізків.
Це відношення також має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.
3)
На множині А
= {1/2,1/3,1/4,2/4,2/6,3/6} встановлено
відношення «бути рівним». Побудуємо
граф даного відношення.
Усі ці відношення мають властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.
Приклади відношень еквівалентності: відношення рівності на довільній множині; відношення паралельності прямих на площині; відношення подібності на множині усіх трикутників; відношення рівносильності на множині рівнянь; відношення «навчатися в одній групі» на множині студентів коледжу.
Дане відношення розбило задані множини на підмножини:
1) {a, b, c}, {d, e}, {f, h} – підмножини паралельних між собою прямих;
2) {a, b, c}, {e, d}, {h}; - підмножини рівних між собою відрізків;
3) {1/2, 2/4, 3/6}, {1/3, 2/6}, {1/4} підмножини рівних між собою дробів.
Ці множини не перетинаються, а їх об’єднання співпадає з множиною X.
Отже, якщо у множині Х задано відношення еквівалентності, то воно розбиває цю множину на підмножини, які попарно не перетинаються (класи еквівалентності).
І навпаки: якщо дане відношення, задане на множині Х, визначило розбиття цієї множини на класи, то це відношення є відношенням еквівалентності.
Отже, за допомогою відношення еквівалентності виконується досить поширена операція – розбиття непорожньої множини на підмножини, які називають класами еквівалентності, при якому:
кожен елемент множини належить одному і тільки одному класу;
будь-які два елементи одного класу перебувають у даному відношенні еквівалентності;
будь-які два елементи, що належать різним класам, не перебувають у цьому відношенні.
Граф відношення еквівалентності є об’єднанням кількох повних графів. Навпаки, якщо граф деякого відношення на множині розпадається на кілька повних графів, то воно є відношенням еквівалентності. Відношення еквівалентності наочно зображується системою повних графів, побудованих на класах еквівалентності. Повним називається граф, в якого всі точки сполучено стрілками і всі вершини мають петлі.
Всі елементи одного класу еквівалентності мають однакові властивості, що дає можливість вивчати властивості одного елемента і поширювати їх на всі елементи класу.
Відношення порядку
Одним із досить важливих понять науки і практики є поняття порядку, яке є узагальненням таких понять, як «старшинство», «підпорядкованість», «наслідування», «наступність», «важливість», «менше», «більше», «не перевищує» тощо.
Як слово «порядок» використовується в повсякденному житті?
Приклад: викликається 5 студентів різного зросту. Завдання: стати так, щоб на даній множині студентів встановити відношення порядку: «бути вищим».
Які властивості має дане відношення?
Означення. Відношення R на множині Х, називається відношенням порядку, якщо воно транзитивне і антисиметричне.
Виділяють певні види відношень порядку. Відношення порядку на множині називається:
відношенням нестрогого порядку, якщо воно рефлексивне;
відношенням строгого порядку, якщо воно антирефлексивне.
Множина із заданим на ній відношенням порядку називається впорядкованою множиною. Залежно від видів відношення порядку розрізняють і види впорядкованих множин.
Одна і та сама множина може бути по різному впорядкована. Наприклад, множину натуральних чисел можна впорядкувати за допомогою таких відношень:
відношення «ділиться на» є відношенням нестрогого порядку;
відношення «менше» є відношенням строгого порядку;
відношення «менше або дорівнює» є відношенням нестрогого порядку.
Геометрично відношення порядку між елементами скінченних множин, як і будь-яке відношення, можна зобразити за допомогою графа.