Поняття відповідності
Крім відношень у множині доволі часто розглядають відношення між елементами двох множин. Такі відношення називають відповідностями.
Наприклад, нумерація класів в школі: 1а, 1б, 1в, 2а, 2б, 2в і т.п. - це встановлення відповідності між множиною чисел 1,2,3,4 і множиною букв а,б,в. При вимірюванні довжини відрізків встановлюється відповідність між множиною відрізків і множиною дійсних чисел.
Досить поширеною є гра: один із гравців називає місто, а другий повинен швидко назвати місто, назва якого починається з останньої букви попереднього міста і т.д. Гра закінчується, якщо один із гравців не може швидко згадати місто з відповідною назвою.
Нехай, наприклад, перший і другий гравці послідовно назвали такі міста: Запоріжжя, Ялта, Алчевськ, Кіровоград, Донецьк, Київ, Вінниця. Названі міста утворюють дві множини:
А ={Запоріжжя,Алчевськ,Донецьк,Вінниця};
В = {Ялта, Кіровоград, Київ}.
Зобразимо залежність між даними множинами схематично, або за допомогою графа. Множини А і В позначимо різними кругами.
На даних прикладах видно, що відповідність встановлюється між елементами двох множин. Такі відповідності називаються бінарними відповідностями.
Означення. Відповідністю між елементами двох множин (бінарною відповідністю) називається підмножина декартового добутку Х×У.
Множина Х називається множиною відправлення, а множина Y – множиною прибуття відповідності. Разом їх називають базовими множинами відповідності.
Способи задання відповідностей
Ми означили, що відповідності – це відношення між елементами двох множин. Тому способи задання відповідностей аналогічні до способів задання відношень.
1 спосіб: перелічування пар елементів.
Наочно це можна зобразити графом, таблицею, графіком (для числових множин);
2 спосіб: характеристичною властивістю пар.
Відповідність між елементами двох множин можна зобразити за допомогою графіка на координатній площині. Для цього на координатній площині позначають всі пари чисел, які знаходяться в даній відповідності. Одержана фігура і буде графіком відповідності.
Справедливе і обернене твердження: будь-яка підмножина точок координатної площини є графіком деякої відповідності.
Побудуємо графіки відповідності «більше» між елементами різних множин (відповідність задана за допомогою характеристичної властивості).
А={3,5,7,9}, В= {4,6}.
Тоді R ={(5;4), (7;4), (7;6), (9;4), (9;6)} (відповідність задана перелом пар).
Елементи
множини А позначимо на осі ОХ, а елементи
множини В – на осі ОУ. Кожну із одержаних
пар – точкою в системі координат.
Одержимо графік відповідності «більше»
між елементами множин А і В.
2) А=R, В={4,6}
Множина
А нескінченна,
в неї входять всі числа, а множина В
містить лише два елемента. Між елементами
даних множин задано відповідність
«більше».
З’ясуємо,
які числа з множини А більші від числа
4. Всі числа, більші числа 4, розміщені
на осі ОХ вправо від точки 4.Отже,
всі точки, абсциси
яких
належать
проміжку (4,
),
а ординати
дорівнюють
4, утворюють промінь. Цей промінь не має
початку, оскільки точка (4,4) графіку
даної відповідності не належить.
Аналогічно,
всі точки, яких абсциса вибирається з
проміжку (6,
),
а ордината дорівнює 6, утворюють також
промінь без початку (6;6).
3) А=R, B=R.
Побудуємо графік відповідності «більше» у випадку, коли множини А і В – нескінчені.
Всі точки, для яких абсциса дорівнює ординаті, лежать на бісектрисі першого і третього координатних кутів. Всі точки, для яких абсциса більша ординати, розміщені під бісектрисою першого і третього координатних кутів.
Отже, графіком відповідності «більше» на множині Х дійсних чисел буде півплощина, розміщена під бісектрисою першого і третього координатних кутів, а сама бісектриса півплощині не належить.
Розглянемо приклад задання відповідності за допомогою таблиць.
Нехай задано дві множини: А = {2,3,6,12} і В = {2,3,4}. Між елементами даних множин встановлено відношення подільності R: числа з множини А діляться на числа з множини В. Математично це можна записати так: , R ={(2;2), (3;3), (6;2), (6;3), (12;2), (12;3), (12;4)}.
Випишемо по
вертикалі всі елементи множини А, а по
горизонталі – множини В. Якщо пара , де
,
то на перетині відповідного рядка і
стовпця записуємо 1, якщо ні – записуємо
0. Одиниця і нуль тут визначають істинність
висловлень про належність пар даній
відповідності. Так, у рядку, де міститься
елемент 6, є дві одиниці і один нуль. Це
означає, що висловлення
або 
,
або 
істинні, а висловлення
,
- хибне. Таку прямокутну таблицю з нулів
і одиниць називають матрицею даної
відповідності.
А В |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
0 |
6 |
1 |
1 |
0 |
12 |
1 |
1 |
1 |
За допомогою таблиць і графів можна задавати лише скінченні відповідності з порівняно невеликою кількістю елементів. Для нескінченних відповідностей такими способами можна ілюструвати лише деякі їхні скінченні частини.