5. Числові рівності, властивості істинних числових рівностей

Означення. Два числові вирази а і b, сполучені знаком «=» (дорівнює) називають числовою рівністю і позначають через а = b.

Наприклад. 2 + 5 = 7; 24 : 6 + 1 = 3.

Кожна числова рівність – це висловлення, яке може бути істинним або хибним. Числова рівність є істинною, якщо числові значення виразів,що стоять в лівій і правій частинах, рівні.

Властивості істинних числових рівностей

Відношення «дорівнює» на множині R володіє властивостями:

1. рефлективності:

2. симетричності:

3. транзитивності:

Отже, це відношення є відношенням еквівалентності.

5) монотонність множення :

(Якщо обидві частини істинної числової рівності помножимо на один і той же числовий вираз, який має смисл, то отримаємо також істинну числову рівність).

6. Числові нерівності, властивості істинних числових нерівностей

Означення. Два числові вирази а і b, сполучені знаками «>» (більше) або «<» (менше) називають числовою нерівністю:

a > b або a < b – числові нерівності.

Наприклад. 45 > 23 + 12; 5 · 7 < 5 · 8; 200 < 300 – 100.

Нерівності – це також висловлення, які можуть бути істинними або хибними.

Властивості істинних числових нерівностей

Відношення «менше» на множині R володіє властивостями:

1. антисиметричності: ,

2. транзитивності: ;

3. монотонність додавання: ;

(Якщо до обох частин істинної числової нерівності додати один і той же числовий вираз, який має смисл, то отримаємо також істинну числову нерівність.)

4. монотонність множення:

(Якщо обидві частини істинної числової нерівності помножимо на один і той же числовий вираз, який має смисл і приймає додатні значення, то отримаємо також істинну числову нерівність).

5. монотонність множення:

(Якщо обидві частини істинної числової нерівності помножимо на один і той же числовий вираз, який має смисл і приймає від’ємні значення, то, щоб отримати істинну числову нерівність, необхідно знак нерівності змінити на протилежний).

§ 13. Рівняння та їх властивості. Нерівності, що містять змінну

План

1. Рівняння з однією змінною.

2. Рівносильність рівнянь.

3. Нерівності з однією змінною.

4. Рівносильність нерівностей.

1. Рівняння з однією змінною

Якщо взяти два вирази зі змінними і і з’єднати їх знаком «=», то отримаємо речення . Воно містить змінну х. Якщо замість змінної х підставити певні значення, то речення перетвориться у висловлення, які можуть бути істинними або хибними. Так, якщо х = 4, то висловлення істинне; якщо х = 3, то висловлення хибне. Тому речення є висловлювальна форма.

Означення. Нехай f (х) і g (x) – два вирази зі змінною х і областю визначення X. Тоді висловлювальна форма виду f (х) = g (x) називається рівнянням з однією змінною.

Значення змінної х із множини X, при якому рівняння перетворюється у істинну числову рівність, називається коренем або розв’язком рівняння.

Розв’язати рівняння – значить знайти множину розв’язків (коренів) рівняння.

Щоб розв’язати рівняння, його перетворюють, використовуючи теореми про рівносильність рівнянь або тотожні перетворення виразів.