1. Коротка історія розвитку поняття числа

Поняття натурального числа є одним із основних понять математики. Виникло воно із практичних потреб людства. Складалось поступово у процесі розв’язання спочатку практичних задач, а потім і теоретичних. Головною причиною, яка привела людину до створення натурального числа, була необхідність порівнювати скінченні множини між собою. У своєму розвитку поняття числа пройшло декілька етапів:

1. Встановлення взаємно однозначної відповідності між даними множинами (тобто без їх лічби – «стільки, скільки пальців на руці»);

2. Застосування множин - посередників (камінці, пальці, палички, ракушки тощо). Число не відділялось від множин об’єктів.

3. Відділення числа від множини посередників, коли навчились встановлювати загальну властивість, яка існує між різними множинами з однаковою чисельністю.

З часом люди навчились називати числа, позначати їх на письмі, виконувати з ними дії. Пізніше числа стали самостійними об’єктами. Наука, яка стала вивчати числа, дії над ними, отримала назву «арифметика».

Арифметика виникла в країнах Стародавнього Сходу: Вавилоні, Єгипті, Китаї, Індії; пізніше математичні знання отримали розвиток в Стародавній Греції. В середні віки великий вклад у розвиток арифметики внесли вчені Індії, країн арабського світу, Середньої Азії, а починаючи з XIII ст. - європейські вчені.

2. Визначення натурального числа і нуля

Означення. Натуральні числа – це числа, які застосовують при лічбі предметів. Натуральні числа є порядкові і кількісні.

Вказуючи при лічбі на кожен елемент деякої множини, називають порядкові натуральні числа (перший, другий і т. д.). Наприклад: перелічуючи елементи множини називаємо слова «перший», «другий», «третій», «четвертий», тобто використали порядкові натуральні числа. Перелічивши елементи множини, вони дають кількісну характеристику цієї множини. У нашому прикладі ми говоримо, що їх у множині А «чотири», тобто даємо кількісну характеристику множини А і використовуємо при цьому кількісне натуральне число. Іншими словами, ми використали множину чисел , яку називають відрізком натурального ряду.

Означення. Відрізком натурального ряду називається множина натуральних чисел, яка не перевищує натурального числа а. Позначається М_а. Будь-який відрізок М_а при а >1 містить 1.

Наприклад : N₄ є множина натуральних чисел 1, 2, 3, 4; тобто N₄ .

Лічба елементів множини А - це встановлення взаємнооднозначної відповідності між елементами множини А і відрізком натурального ряду чисел N_а.

Число а називають числом елементів у множині А. Позначається: п(А)=а. Це число для даної множини єдине і є кількісним натуральним числом. Отже, при перелічуванні елементів множини використовуються порядкові натуральні числа, які виражаються числівниками «перший», «другий», «третій» і т. д. (тобто відповідають на питання, який при лічбі); для встановлення кількості елементів множини (тобто для відповіді на питання «скільки»), використовуються кількісні натуральні числа, які виражаються числівниками «один», «два», «три» і т.д.

Таким чином, кількісні і порядкові натуральні числа знаходяться в тісному взаємозв’язку. Тісний зв’язок порядкового і кількісного натурального чисел знайшов своє відображення в початковому навчанні математики. Так при вивченні чисел першого десятка відповідь на питання: «Скільки предме­тів в даній групі?» - дається кількісним натуральним числом, а на питання: «Який при лічбі буде даний предмет?» - відповідь дається порядковим натуральним числом.

При лічбі дотримуються певних правил:

1. першим при лічбі може бути вказаним будь-який елемент множини;

2. жоден елемент множини не повинен бути пропущеним;

3. не можна лічити двічі один і той же елемент множини;

4. останнє назване число вказує на кількість елементів множини.