§ 11. Дійсні числа та дії над ними

План

1. Несумірні відрізки і ірраціональні числа. Невід’ємні дійсні числа.

2. Арифметичні дії над дійсними невід’ємними числами. Їхні властивості.

3. Від’ємні числа. Множина дійсних чисел.

1. Несумірні відрізки і ірраціональні числа. Невід’ємні дійсні числа

Нехай маємо деякий відрізок а і певну одиницю виміру е.

Як зазначалося, може бути 2 випадки:

1) одиничний відрізок е вкладається ціле число, наприклад п разів, у відрізку а, і тоді вважають, що довжина відрізка а дорівнює пе: а = пе;

2) одиничний відрізок е не вкладається у відрізку а ціле число разів, тобто після п відкладань залишиться деякий відрізок – остача r < e. Тоді можна записати, що , де r < e.

Природно поставити запитання, яку нову, меншу за е, але пов’язану з е, одиницю виміру слід узяти, щоб вкладалася ціле число разів у відрізку а? Чи завжди має розв’язок ця задача?

Якщо відрізок а сумірний з е, то а виражається через е раціональним числом , тобто спільною мірою відрізків а і е буде відрізок .

Якщо відрізки а і е не матимуть спільної міри, то довжину а не можна виразити через е ніяким раціональним числом. У зв’язку з цим множину раціональних чисел розширено введенням нових чисел, які назвали ірраціональними (не раціональними).

Слово «ratio» латинською мовою означає «відношення», тобто будь-яке раціональне число можна зобразити у вигляді відношення двох цілих чисел: де g ≠ 0. Ірраціональне число не можна зобразити у вигляді відношення двох цілих чисел.

Існування несумірних відрізків виявили ще піфагорійці (VI ст. до н.е.), але вони не ввели ірраціональних чисел для їх вимірювання, бо вважали, що довжина – величина неперервна, а число – дискретна (розривна). У відкритті несумірних відрізків вони вбачали «велику таємницю», розголошення якої переслідувалось і «каралося богом».

У «Началах» Евкліда також ірраціональні числа фактично не використовувались. Вперше свідомо почали оперувати ірраціональними числами індійські та китайські математики, переносячи на них усі правила дій над коренями, що являють собою раціональні числа.

Означення. Ірраціональними числами називають числа, які можна зобразити нескінченними десятковими неперіодичними дробами.

Внаслідок розширення множини невід’ємних раціональних чисел введенням ірраціональних (додатних) чисел стала завжди можливою задача вимірювання відрізків: тепер кожній точці числового променя можна поставити у відповідність тільки одне дійсне число (раціональне чи ірраціональне), і навпаки. Саме в цьому і полягає ідея неперервності числового променя і множини невід’ємних дійсних чисел. Між множиною невід’ємних дійсних чисел і множиною точок числового променя існує взаємно однозначна відповідність.

Два ірраціональних числа вважають рівними, якщо вони виражають довжини рівних між собою відрізків.

У множині дійсних невід’ємних чисел зберігаються основні властивості відношень «рівно», «більше», «менше», які було встановлено для невід’ємних раціональних чисел.

2. Арифметичні дії над дійсними невід’ємними числами. Їхні властивості

Відомо, що арифметичні дії над періодичними десятковими дробами трактуються як дії над відповідними їм звичайними дробами. Тому всі властивості арифметичних дій, розглянуті для звичайних дробів, мають місце і для нескінченних періодичних десяткових дробів.

Виконати арифметичну дію над періодичними десятковими дробами можна двома способами:

1. подати дані періодичні десяткові дроби у вигляді звичайних дробів, виконати дію над звичайними дробами і в разі потреби подати результат у вигляді періодичного десяткового дробу;

2. виконати дію над періодичними десятковими дробами подібно до того, як виконується ця дія над десятковими дробами.

Наприклад. Знайти суму 3,(2) + 4,3(42).

а)

б) ₊3,2 2 2 2 2 2 2…

4,2 4 2 4 2 4 2…

7,5 6 4 6 4 6 4… = 7,5 (64).

Означення. Сумою (добутком) двох ірраціональних чисел α і ß називається число, яке більше за суму (добуток) будь-яких їх наближених значень, взятих з недостачею, але менше за суму (добуток) будь-яких їх наближених значень, взятих з надлишком.

Нехай тоді згідно з означенням:

Такий спосіб обчислення забезпечує відповідну точність, проте він досить громіздкий, оскільки доводиться вести подвійні обчислення. На практиці, якщо не потрібна велика тонічність, можна обмежуватись обчисленнями над відповідними десятковими наближеннями, але принаймні прикидкою оцінювати при цьому похибку і враховувати її.

Дії віднімання і ділення дійсних чисел, як і для раціональних чисел, означаються як дії, обернені відповідно додаванню і множенню.

Чи може бути раціональним числом добуток двох ірраціональних чисел? сума двох ірраціональних чисел?

Відповідь на ці запитання дають такі приклади:

1) – раціональне число;

2) – раціональне число.

У множині дійсних невід’ємних чисел зберігаються основні закони і властивості арифметичних дій, які було встановлено для невід’ємних раціональних чисел:

1. Існування і єдиність суми і добутку.

2. Комутативність додавання і множення.

3. Асоціативність додавання і множення.

4. Дистрибутивність множення відносно суми.

5. Закони монотонності додавання і множення.

Проте ірраціональні числа мають і свої особливості. Наприклад, не має смислу говорити, у скільки разів більше за або у скільки разів неправильно вважати дробовим числом або правильним дробом, це числа ірраціональні.