2. Рівносильність рівнянь

Означення. Два рівняння, множини розв’язків яких на певній множині М збігаються, називаються рівносильними.

Наприклад, рівняння і рівносильні на множині R, бо множина коренів першого рівняння {1} і множина коренів другого рівняння{1},тобто множини коренів рівні.

Теорема 1. Нехай рівняння f (х) = g (x) задано на множині Х і h (х) – вираз, який визначений на тій же множині Х. Тоді рівняння і дане рівняння f (х) = g (x) рівносильні.

Доведення. Нехай Т₁ множина розв’язків рівняння (1), а Т₂ множина розв’язків рівняння (2). Покажемо, що множини коренів рівні.

Нехай число а є коренем рівняння (1). Тоді і при підстановці у рівняння (1) обертає його у істинну числову рівність: f (а) = g (а), а вираз h (х) у числовий вираз . Додамо до обох частин рівності f (а) = g (а) вираз . Отримаємо істинну числову рівність , а це означає, що а є коренем рівняння (2). Отже, кожен корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2). Аналогічно можна показати, що кожен корінь рівняння (2) є коренем рівняння (1). За доведенням і дані рівняння рівносильні.

Теорема 2. Нехай рівняння f (х) = g (x) задано на множині Х і h (х) – вираз, який визначений на тій же множині Х і який не перетворюється на нуль ні при яких значеннях х із множини Х. Тоді рівняння і дане рівняння рівносильні.

Доведення аналогічне до доведення першої теореми.

При розв’язуванні рівнянь частіше використовуються не самі теореми, а наслідки з них.

Наслідки з теорем про рівносильність рівнянь

До теореми 1

1. Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

2. Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

До теореми 2

3. Якщо обидві частини рівняння помножити (або поділити) на одне і те саме число, відмінне від нуля, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Наприклад. Розв’язати рівняння:

1. Зведемо до спільного знаменника вираз у лівій частині рівняння. Це тотожне перетворення виразу. Дістанемо рівняння, рівносильне даному:

;

2. Зведемо подібні доданки. Це тотожне перетворення виразу. Дістанемо рівняння, рівносильне даному:

3. За наслідком (3) з теорем про рівносильність рівнянь помножимо обидві частини рівняння на 6. Дістанемо рівняння, рівносильне даному:

4. За наслідком (1) з теорем про рівносильність рівнянь перенесемо вираз 6х з правої частини рівняння в ліву, а число 16 – з лівої частини рівняння в праву, змінивши їх знаки на протилежні. Дістанемо рівняння, рівносильне даному:

5. Зведемо подібні в лівій частині рівняння. Це тотожне перетворення, тому дістанемо рівняння, рівносильне даному:

6. Поділимо ліву і праву частини рівняння на 9. За наслідком (3) дістанемо рівняння рівносильне даному.

;

Отже, множина розв’язків рівняння складається з одного числа , тобто { }.

В початковому курсі математики розглядаються найпростіші рівняння виду: ; ; ; ; , де а і b – цілі невід’ємні числа, х – змінна та рівняння на дві дії. Поняття рівняння вводиться неявно, через текст, тобто контекстуально. Розв’язуються такі рівняння в початковій школі на основі знань учнів залежностей між компонентами і результатом дій.

Наприклад. Розв’язати рівняння: . Невідоме знаходиться у діленому. Щоб знайти ділене, треба частку помножити на дільник. Дістанемо рівняння: . Невідомий перший доданок; щоб його знайти, треба від суми відняти другий доданок. ; . Отже, розв’язком рівняння є число 32.